數塔中的方程問題

河南省商丘市謝集一中(476032) 魏祥勤 ●

數塔中的方程問題

河南省商丘市謝集一中(476032) 魏祥勤 ●

下面結合一道“數塔”問題，構造一元二次方程探究第幾行的數字是一個已知數，對此問題進行分析、探究并進行一些拓展，供參考．

例1 把數字按照如圖所示排列起來，從上開始，依次為第一行、第二行、第三行、…，中間用虛線圍成一列，從上到下依次為1、5、13、 25、…，則在中間這列數中，第___行的數是761，寫出推理過程．

解 觀察數字組成的塔形排列，易于發現僅僅在奇數行，中間是一個數字，位于矩形圍出的范圍內，數字1、5、13、25、…都是奇數，如果每個數字都減去1，得出數字是:0，4，12，24，…，分別除以2得出數字0，2，6，12，…，則變為:0，1×2，2×3，3×4，…，因此下一個數字應當1+2 ×4×5=41，驗證如下:左起29到36，右起37到45，猜想成立，因此奇數行第n行中間數字是2n(n－1)+1，令2n (n－1)+1=761，即是n2－n－380=0，解得:n=20或者是n=－19(應舍去)，只取n=20，即是在中間這列數中，第20行的數字是761．

例2 觀察下列數塔，寫出第n行中間的數字規律．確定第幾行中間的數字是1261?

解 觀察數字1、3、7、13、21、31、43、…，上面數字都減去1，得出數字0，2，6，12，20，30，42，…分別是數字0× 1、1×2、2×3、3×4、4×5、5×6、6×7，…，因此第n行中間數字是1+n(n－1)．

令1+n(n－1)= 1261，即是n2－n－1260 =0，解得:n=36或者是n=－35(應舍去)，只取n=36，即是在中間這列數中，第36行的數字是1261．

例3 觀察下列數塔，寫出第n行中間的數字規律．確定第幾行中間的數字是211?

解 觀察數字1、4、11、22、37、…，上面數字都減去1，得出數字0、3、10、21、36、…，分別可以寫成0，1×3，2×5，3×7，4× 9，…，可以發現第n行中間的數字規律是1+(n－1)×〔2(n－1)+1〕．令1+(n－1)×〔2(n－1)+1〕=211即是2(n－1)2+(n－1)－210=0，解得n=11或者是n=－9．5(應舍去)，只取n=11，即是在中間這列數中，第11行的數字是211．

例4 觀察下列數塔，寫出第n行中間的數字規律．確定第幾行中間的數字是1221．

解 觀察數字1、5、15、31、53、…，上面數字都減去1，得出數字0、4、14、30、52、…，分別可以寫成0，1×4，2×7，3×10，4×13，…，可以發現第n行中間的數字規律是1+ (n－1)×〔3(n－1)+1〕．令1+(n－1)×〔3(n－1) +1〕=1221即是3(n－1)2+(n－1)－1220=0，解得n =21或者是n=－58/3(應舍去)，只取n=21，即是在中間這列數中，第21行的數字是1221．一般規律:從1開始的連續正整數構成的“數塔”，中間數字具有下面的規律:①如果第一行是數字1，從第二行開始，下面一行比上面相連一行多2k個數字(k是正整數)，則第n行中間數字是1+(n－1)〔k(n－1)+1〕;判斷第幾行中間的數字是形如uv2+v+1的數字(u、v都是正整數)，只需解關于n的一元二次方程k(n－1)2+(n－1)－(uv2+v)=0，得出正整數解即可(如果沒有正整數解，則此種情況不存在)．特別地，當u=k時，方程k(n－1)2+(n－1)－(kv2+v)=0的正整數解是 n=v+1．另一個解是 n=－(為負數，需舍去);只取n=v+1．②如果第一行是數字1，從第二行開始，下面一行比上面相連一行多(2k－1)個數字(k是正整數)，則第n行中間數字是1+2(n－1)〔(2k－1)(n－1)+1〕;判斷第幾行中間的數字是形如1+2v(vu+1)的數字(u、v都是正整數)，只需解關于n的一元二次方程(2k－1)(n－1)2+(n－1)－(uv2+ v)=0，得出正整數解即可(如果沒有正整數解，則此種情況不存在)．特別地，當u=2k－1時，方程(2k－1)(n－1)2+(n－1)－［(2k－1)v2+v)］=0的正整數解是n=v +1．另一個解是，即n=－(為負數，需舍去)．只取n=v+1．

舉例:如當2k－1=5時，把n=1，2，3，4分別代入1+ 2(n－1)〔(2k－1)(n－1)+1〕得出第1行中間數字是1，第2行中間數字是:1+2×1×6=13，第3行中間數字是:1+2×2×11=45，第4行中間數字是:1+2×3×(5× 3+1)=97．

驗證如下:第3行與第4行中間一排數字是56到81的26個數字，第4行是從82到112的31個數字，中間數字是(82+112)÷2=97，…，推測第幾行中間數字是1021，即可解方程:5(n－1)2+(n－1)－510=0，得出n=11或者是n=－46/5(舍去)，即是第11行中間數字是1021．

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