構造一元二次方程 巧求代數式的最值

山東省昌邑市柳疃初中(261302) 姜強柱 ●

構造一元二次方程 巧求代數式的最值

山東省昌邑市柳疃初中(261302) 姜強柱 ●

在數學競賽中，我們經常會遇到求代數式的最值(最大值或最小值)問題，但被求最值的代數式又不是一般代數式，因而同學們都感到困難，覺的無從下手．對于這類問題，如果我們通過設元構造一元二次方程，或者根據題設條件利用根與系數的關系構造一元二次方程，利用一元二次方程的判別式便能巧妙的獲解．下面舉例說明．

(1993年全國初中數學聯賽試題)

整理，得y2－10y+24=0，即(y－4)(y－6)≤0．

由題設知y≠6，所以解得4≤y＜6．

∵x為實數，∴Δ=(－y)2－4ay=y2－4ay≥0．

由于y＞0，所以y≥4a．

∴所求分式的最小值為4a．

例3 設a、b為實數，那么a2+ab+b2－a－2b的最小值是___．(1998年全國初中數學競賽試題)

解 設a2+ab+b2－a－2b=y，將其整理成關于a的二次方程，得

a2+(b－1)a+(b2－2b－y)=0．

∵a為實數．

∴ Δ=(b－1)2－4(b2－2b－y)≥0．

∴4y≥3b2－6b－1=3(b－1)2－4≥－4，∴y≥－1．

故所求代數式的最小值是－1．

例4 已知x、y、z為實數，且x+y+z=5，xy+yz+zx =3．試求z的最大值與最小值．(2004年全國希望杯初中數學邀請賽競賽試題)

解 由x+y+z=5，得y=5－x－z，代入xy+yz+zx =3，得x(5－x－z)+(5－x－z)z+zx=3．

將上式整理成關于x的二次方程，得x2+(z－5)x+ z2－5z+3=0．∵x為實數，

∴Δ=(z－5)2－4(z2－5z+3)≥0，即3z2－10z－13≤0．

例5 已知a、b均為實數，且滿足a2+ab+b2=1①，則代數式的最大值與最小值的和___．

解 設a2－ab+b2=y②．

①+②，得2a2+2b2=1+y，即

由③、④可知a2、b2是二次方程(1－y)2=0的兩個實數根．

整理，得3y2－10y+3≤0，即(3y－1)(y－3)≤0．

∴代數式a2－ab+b2的最大值是3，最小值是

故代數式a2－ab+b2的最大值與最小值的和是1

例6 已知p3+q3=2，其中p、q是實數，則p+q的最大值為___．(1987年江蘇省初中數學競賽題)

解 由p3+q3=2，得(p+q)(p2+q2－pq)=2．

(p+q)［(p+q)2－3pq］=2．

(p+q)3－3pq(p+q)=2．

化簡整理，得m3≤8，故m≤2，即p+q的最大值為2．

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