源自課本 有效改編
——2015年泰州市中考數學第25題的思考

江蘇省興化市昌榮中心校(225734) 丁 冬 ●

源自課本 有效改編
——2015年泰州市中考數學第25題的思考

江蘇省興化市昌榮中心校(225734) 丁 冬 ●

近年來，各地一些中考數學命題的素材來源于課本例題、習題的改編，對于考查數學知識、方法、能力有其合理性、創新性．2015年泰州市中考數學第25題源自蘇科版數學八年級教材的例題改編，體現了根在書中的特色，同時也有清新之感．研讀這道題，筆者對此題有一些思考和見解．

課本例題;改編;中考試題;方法多元化;正方形;定點;最小值

縱觀近年來，全國許多地區中考數學試卷中的部分試題命制源自課本例題、習題的改編，既讓考生有似曾相識的感覺，又有一種清新之感．俗話說“為有源頭活水來”，取材于課本的同時，對題目的條件或結論進行別具匠心的重構打磨、引申挖掘，既讓考題綻放華彩，又能有效考查不同層次學生的數學知識和能力．2015年泰州市中考數學第25題，這道題便是源自蘇科版數學八年級教材．以下是筆者對于2015年泰州市中考數學第25題的一些思考和見解．

一、原題呈現

(源于蘇科版數學八年級下冊第82頁的例5)

已知:如圖1，在正方形 ABCD中，點A'、B'、C'、D'分別在AB、BC、CD、DA上，且AA'=BB'=CC'=DD'．求證:四邊形A'B'C'D'是正方形．

分析 要證明一個四邊形是正方形，通常有兩種思路，即先證菱形，進而再得正方形;或先證矩形，進而再得正方形，具體問題解決時，須根據題目條件，選用合適的方法予以證明．

證法1 ∵四邊形ABCD是正方形，

∴四邊形A'B'C'D'是菱形(四邊相等的四邊形是菱形)．

由△AA'D'≌△BB'A'，可得∠2=∠3．

∴菱形A'B'C'D'是正方形(有一個角是直角的菱形是正方形)．

證法2 易證△AA'D'≌△BB'A'，∴∠2=∠3，D'A' =A'B'．

同理可證∠A'B'C'=∠B'C'D'=90°，

∴四邊形A'B'C'D'是矩形(三個角是直角的四邊形是矩形)．

又∵D'A'=A'B'，∴矩形A'B'C'D'是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形)．

二、改編創新

(2015年泰州市中考數學第25題)如圖2，正方形 ABCD的邊長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的動點，且AE=BF=CG=DH．

(1)求證:四邊形 EFGH是正方形;

(2)判斷直線EG是否經過一個定點，并說明理由;

(3)求四邊形EFGH面積的最小值．

仔細看這道中考題，題目條件及第(1)問與課本原題基本一致，只稍作添加了正方形的邊長為8cm這一數據;第(2)、(3)兩問則是有效地改編與創新，其中動直線經過定點、最值問題對于考查不同層次學生的數學思維和能力，有較好的區分度．

分析 第(1)問可先證△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出四邊形EFGH是菱形(或矩形)，再根據“有一個角是直角的菱形是正方形”(或“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”)證得四邊形EFGH是正方形．

第(2)問的解法不唯一，既可采用幾何證法，證明出四邊形AECG是平行四邊形，再根據點O是對角線的交點，同時也是它們兩條對角線的中點即可得證;也可通過建立直角坐標系，運用解析法來解決．

第(3)問通過建立二次函數的模型，將幾何問題代數化來解決．

三、解法探究

解 (1)證法同上面“原題呈現”中的兩種證法．

(2)解法1 如圖3，連接AC、EG相交于點O．

∵AE=CG，AE∥CG，∴四邊形AECG是平行四邊形．

∴點O為對角線AC的中點．

即直線EG經過定點，且定點為對角線AC的中點O．

解法2 如圖4，以點B為坐標原點，線段BC、BA所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標系．

設BE=acm(0≤a≤8)，則DG=acm．

設直線EG的表達式為y=kx+b．

將E(0，a)，G(8，8－a)代入，

∴直線EG經過定點(4，4)．

又∵A(0，8)，C(8，0)．

∴AC的中點坐標為(4，4)．

∴直線EG經過定點，且定點為AC的中點．

(3)解法1 設AE=xcm，則AH=(8－x)cm．

∴當x=4時，四邊形EFGH面積的最小值為32．

解法2 設AE=xcm，則AH=(8－x)cm．

在Rt△AEH中，由勾股定理，知AE2+AH2=EH2，

即EH2=2x2－16x+64．

又∵四邊形EFGH為正方形，

∴S正方形EFGH=EH2=2x2－16x+64=2(x－4)2+32．

∴當x=4時，四邊形EFGH面積的最小值為32．

解法3 ∵△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，且正方形ABCD的面積始終為64，

∴要使四邊形EFGH面積的最小，只要△AEH的面積最大即可．

∴當x=4時，△AEH的面積最大值為8．

∴ S正方形EFGH=S正方形ABCD－4S△AEH=64－4×8=32．

∴四邊形EFGH面積的最小值為32．

四、幾點思考

1．注重課本例題、習題的教學，切忌舍本逐末，拋棄課本教材，一味求深求難．同時依據課標、考綱要求，對課本例題、習題適當改編、挖掘一些變式題、拓展題，逐步訓練學生的數學思維，滲透數學思想和解題技巧．

2．注重通性通法，同時提倡解題方法的優化．幾何問題有時并不拘泥于只用幾何方法來解決．思維的發散、方法的多元化，為積累解題經驗、提高解題能力，有著積極意義．

3．中考數學的復習，注重回歸課本，梳理知識，把握知識的前后關聯．同時，研究本地區近年來中考數學試題的特色，對長效考點、考題做到心中有數，有的放矢．

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