縝密思維 嚴謹答題

江蘇省興化市陳堡初級中學(225714) 韋海關 ●

縝密思維 嚴謹答題

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中考壓軸題的綜合性較強，不僅考查考生掌握的基礎知識、基本技能、基本數學思想，還需要考生在規定時間內縝密地思維、嚴謹地答題、認真地書寫．考生由于思維的不嚴密，造成失分的情況比比皆是．以下以一道中考壓軸題談談如何縝密思維、嚴謹答題:

拋物線;兩點間距離;一元二次方程根與系數關系;最大值;分類

一、原題呈現

(江蘇省泰州市2016中考數學試題第26題)已知兩個二次函數y1=x2+bx+c和y2=x2+m．對于函數y1，當x=2時，該函數取最小值．

(1)求b的值;

(2)若函數y1的圖象與坐標軸只有2個不同的公共點，求這兩個公共點間的距離;

(3)若函數y1、y2的圖象都經過點(1，－2)，過點(0，a－3)(a為實數)作x軸的平行線，與函數y1、y2的圖象共有4個不同的交點，這4個交點的橫坐標分別是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4－x3+x2－x1的最大值．

二、解法探究

(2)①如圖1，如果函數y1的圖象經過原點，則c=0，此時其解析式為y1=x2－4x，由拋物線的軸對稱性可知它與x軸的另一公共點為(4，0)，∴函數y1的圖象與坐標軸的兩個公共點間的距離為4．

②如圖2，如果函數y1的圖象不經過原點，∵函數y1的圖象與y軸定有一個交點，∴函數y1的圖象與x軸必只有1個公共點，∴Δ=(－4)2－4c=0，解得c=4．∴函數y1解析式為y1=x2－4x+4，設其圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B．當y1=x2－4x+4=0時，解得x1=x2= 2，∴A(2，0)，OA=2;當x=0時，y1=x2－4x+4=4，∴ B函數y1的圖象與坐標軸的兩個公共點間的距離為．綜上，函數y1的圖象與坐標軸的兩個公共點間的距離為4或

評注 該小題考生在答題時考慮函數y1的圖象與坐標軸交點個數時，往往會因為思維的不縝密，存在漏解的情況．為了避免該情況的出現，考生在答題時要認真審題，分類討論，嚴謹答題，做到會的做對、對的做全．

(3)由題意得y1中，1－4+c=－2，∴c=1，∴y1=x2－4x+1．又y2中，1+m=－2，∴m=－3，∴y2=x2－3．易求得y1、y2的頂點分別是(2，－3)、(0，－3)，∴函數y1的圖象可以看成是由函數y2的圖象向右平移2個單位得到的．且易求得函數 y1、y2的圖象的交點 E坐標為(1，－2)．

方法1:設點(0，a－3)為點P，設過點P與x軸的平行線為直線MN，設MN與函數y1、y2的圖象的4個不同的交點從左到右分別是A、B、C、D．則AC=BD=2．由圖3知，當MN在點E(1，－2)下方時，x4－x3+x2－x1=AB+ CD＜AC+BD=4，∴此時0＜x4－x3+x2－x1＜4．

由圖4知，當MN在點(1，－2)上方時，x4－x3+x2－x1=AB+CD=4．綜上，x4－x3+x2－x1的最大值為4．

評注 將代數問題轉化幾為何問題，發現拋物線在同一坐標系的相互平移關系，是該法應用的精髓．但是有些考生臨場答卷時，會因忽略圖3情形的說明而失分．這就需要考生在答題時有較強的作圖能力，并且考慮到直線MN位于點E上方、下方兩種情形．

方法2:①當－3＜a－3＜－2，即0＜a＜1時，如圖3，令y1=a－3，則x2－4x+1=a－3，即x2－4x－a+4=0，則令y2=a－3，則

②a－3＞－2，即a＞1時，如圖4，令y1=a－3，則x2－4x+1=a－3，即x2－4x－a+4=0，則x4+x2=4，令y2=a－3，則x2－3=a－3，∴x2=a，則x3+x1=0，∴x4－x3+x2－x1=(x4+x2)－(x3+1)=4－0=4．

③a－3=－2，即a=1時，x2=x3，不符合題意．

綜上，x4－x3+x2－x1的最大值為4．

評注 將一元二次方程根與系數關系巧妙運用到求值式中，結合合理的分類、縝密的思維，解題嚴謹．

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1008－0333(2017)02－0012－01