在概念形成中培養初中學生數學抽象

向毅

摘 要： 概念形成實質是抽象出某一類對象或事物的共同本質特征的過程。數學抽象是數學核心素養之一，學生數學學習的效果在一定程度上受到數學抽象影響，數學抽象是學生學好數學的基礎。本文立足于初中數學課堂教學，以“乘法（第一課時）”教學設計為例，探索在概念形成中培養學生數學抽象。

關鍵詞：概念形成 數學抽象 乘方

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2017）02-0151-01

概念形成是指“從大量的同類事物的不同例證中獨立發現，實質是抽象出某一類對象或事物的共同本質特征的過程。[1]”數學抽象是數學核心素養之一[2]，“是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程?！盵3]學生數學學習的效果在一定程度上受到數學抽象影響[4]。分析其主要原因有，數學具有抽象性這一特性。數學與客觀現實有緊密的聯系，又與現實世界中的具體事物有一定距離，特別是使用了高度抽象的數學語言，增加了學生對數學學習的難度。因此，數學抽象是學生學好數學的基礎。本文立足于初中數學課堂教學，以“乘法（第一課時）”教學設計為例，探索培養初中學生數學抽象。

一、教學目標

1.知識與技能

（1）讓學生理解并掌握有理數的乘方、冪、底數、指數的概念及意義；

（2）能夠正確進行有理數的乘方運算。

2.過程與方法

（1）在現實生活的情境中讓學生獲得有理數乘方的初步經驗；

（2）培養學生觀察、分析、歸納、抽象的能力；

（3）經歷從乘法到乘方的推廣的過程，從中感受化歸的數學思想。

3.情感、態度與價值觀

讓學生在經歷發現問題，探索規律的過程中體會到數學學習的樂趣，從而培養學生學習數學的主動性和勇于探索的精神，增進學生學好數學的自信心。

二、教學重點、難點

教學重點：有理數乘方的定義，有理數的乘方運算規律。

教學難點：有理數乘方的運算的符號法則；乘方與冪的相互關系。

三、教學過程

1.創設情境，激發興趣

師：前面我們學習了有理數的乘法運算，在有理數乘法的運算中，有時我們會碰到求幾個相同因數的積的情況。

邊長為2cm的正方形的面積，怎么表示？棱長為2cm的正方體的體積，怎么表示？

生1：邊長為2cm的正方形的面積是 （cm2）；棱長為2cm的正方體的體積是 （cm2）。

師： ， 都是相同因數的乘法，為了簡便，我們將它們分別記作 ， 。

【設計意圖】在有理數的乘法運算中，我們會碰到多個相同的因數相乘的情況，由于相同因數出現的次數可能較多，書寫起來比較麻煩而且容易寫重或寫漏，讀起來也費時費力。從現實生活的情境中讓學生體會學習有理數乘方的必要性，激發學生數學學習興趣。

2.提出問題，探求新知

師：形如 、 、 、 ，就是我們今天學習內容“乘方”。乘方是什么樣的運算？

生2：多個相同的因素相乘

師：幾個相同的因數 相乘，如何表示？

生3：記作

師：一般地，幾個相同的因數 相乘，即 ，記作 。這種求個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。

師：在 中，底數和指數分別是多少？讀作什么？它表示什么？

生4：在 中，底數是9，指數是4， 讀作9的4次方，或9的4次冪，它表示4個9相乘，即 。

師：在 中，底數和指數分別是多少？讀作什么？它表示什么？

生5： 的底數是-2，指數是4，讀作-2的4次方（或-2的4次冪），它表示 。

師：負數的乘方，在書寫時一定要把整個負數（連同負號）用小括號括起來。

師： 與 一樣嗎？

生6： 與 在表示方式是不同的，表示意義也不相同， 表示4個-2相乘， 表示4個2相乘的相反數。

【設計意圖】教師列舉“乘方”具體實例，引導學生對它們共同本質特征的抽象，形成“乘方”概念。將“乘方”概念與乘法運算建立聯系，乘方運算可以轉化為幾個相同因數的乘法運算，乘方運算是乘法運算的特殊情況。同時，使學生理解并掌握有理數的乘方、冪、底數、指數的概念及意義，認識到乘方與冪的相互關系。

3.鞏固新知，加深理解

師：乘方如何進行計算？

生8：把乘方運算轉化為乘法運算。

師：乘方運算為什么可以轉化為乘法運算？

生9：因為 就是 個 相乘，所以可以利用有理數的乘法運算來進行有理數的乘方運算。

師：在了解了乘方意義，知道乘方是乘法的特殊情況后，我們可以利用有理數的乘法運算來進行有理數的乘方運算。

例1計算：

（1） （2） （3）

學生討論：根據有理數乘法運算的符號法則，很容易得到乘方運算的法則。如下，負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。顯然，正數的任何次冪都是正數，0的任何非零次冪都是0。

【設計意圖】通過例題的講解，讓學生體會乘方運算是乘法運算的特殊情況，然后通過有理數的乘法符號規律，歸納有理數乘方的符號規律。主要通過例1的分析，引導學生討論得到：負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數的結論，確定有理數乘方的運算的符號。能夠正確進行有理數的乘方運算。

4.課堂小結

師：通過這節課的學習談談你的收獲，你能解決下列問題嗎？

（1）乘方是什么樣的運算？

（2）乘方如何進行計算？

（學生回答略）

【設計意圖】教師不是孤立地對本節課內容進行小結，而是站在整個知識體系的角度歸納小結，引導學生感受數學地整體性，幫助學生理清知識之間的區別和聯系。

5.布置作業

（1）必做題：教材第42頁練習題1-3

（2）選做題：例題的變式2

【設計意圖】作業的布置，充分體現了讓不同層次學生在數學上得到不同的發展。

四、教學反思

本節課教師要重視將因數的范圍擴充到負有理數的擴充過程，在教學中要結合示意圖講清楚冪、底數、指數的意義和相互關系：乘方是一種運算，冪是乘方的結果，就如加法是一種運算，和是加法運算的結果一樣。同時要通過例題、課堂練習和家庭作業，加強鞏固乘方概念和運算法則。

【總評】教師按照學生的認知規律，從最近發展區入手，較好地展現了教師的教學特色。

（1）注重概念形成過程

“乘方”概念形成的基本過程大致是：分析不同實例的各種屬性——發現不同實例的類似之處——對相似之處進行抽象——形成概念?！俺朔健备拍钚纬蛇^程實質是數學抽象過程，教師在教學過程中引導學生，逐漸培養初中學生數學抽象。

（2）注重學生學習興趣

本節課以概念產生的數學背景為出發點，建立在解決某些問題的需要的基礎上。由難度適當的問題而引起的認知沖突，可以激發學生的求知欲和思維的積極性，提高學生的數學學習興趣，培養初中學生數學抽象。

參考文獻

[1]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006：106.

[2]章建躍. 高中數學教材落實核心素養的幾點思考[J]. 課程.教材.教法，2016，07：44-49.

[3]何小亞. 數學核心素養指標之反思[J]. 中學數學研究（華南師范大學版），2016，

13：53+1-4.

[4]曹才翰，章建躍.中學數學教學概論[M].北京：北京師范大學出版社，2012：77.