關于函數對稱性的一些探討

陸嘉瑋

摘 要： 函數思想在高中數學體系中位置毋庸置疑，歷年來高考也經常從各個方面考函數的思想，其中函數的對稱性作為函數的重要性質一直是考察的重點。本文將首先介紹一下什么是函數的對稱性，然后對不同函數對稱性進行一些探討，最后通過例子驗證函數對稱性的應用。

關鍵詞：函數 對稱性 軸對稱 中心對稱

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2017）02-0127-01

前言

函數思想作為我們高中數學學習的主線，廣泛應用于我們的解題過程中，對稱關系作為函數的一個主要性質，往往可以幫助我們使問題更簡捷的獲得解決。有調查表明：有80%以上的學生對數學中的對稱性是有所了解的，但學生對于數學中對稱性的認識還大都是一種自發的狀態，處于潛意識的狀態，認識比較簡單，知識面很窄[1]。現今高考命題日益新穎，變形較多，這種淺顯的認知現狀使我們無法快速準確的利用對稱性這一性質進行問題的解決。本文就這一現狀對函數對稱性的一些性質進行了探討。

一、什么是函數的對稱性

所謂函數的對稱性一般體現在函數圖像上，我們常見的函數對稱性主要有兩種：1.函數軸對稱。如果一個函數的圖像沿一條直線對折，直線兩側的圖像能夠完全重合，則稱該函數具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數的對稱軸。2.函數中心對稱。如果一個函數的圖像沿一個點旋轉180度，所得的圖像能與原函數圖像完全重合，則稱該函數具備對稱性中的中心對稱，該點稱為該函數的對稱中心。

二、不同函數對稱性匯總

高中階段我們接觸的函數類型眾多，不同函數因為構成的不同所具有的對稱性質也不盡相同。下面就對我們高中學習過程中涉及到的幾類函數的對稱性進行一下匯總：

1.常數函數：既是軸對稱又是中心對稱函數，與該直線垂直的直線均是它的對稱軸，直線上的所有點均為它的對稱中心。

2.一次函數：既是軸對稱又是中心對稱函數，與該直線垂直的直線均是它的對稱軸，直線上的所有點均為它的對稱中心。

3.二次函數：是軸對稱函數，而不是中心對稱函數，其對稱軸方程式為x=-b/（2a）。

4.三次函數：三次函數中的奇函數是中心對稱函數，對稱中心是原點，其他的三次函數是否具備對稱性需因題而異。

5.正弦函數：既是軸對稱又是中心對稱函數，其中（kπ，0）為其對稱中心，x=kπ+π/2為其對稱軸。由正弦函數變形而來的正弦型函數y=Asin（ωx+φ）同樣既是軸對稱也是中心對稱函數，其對稱中心的橫坐標可以通過ωx+φ=kπ解出，縱坐標依然為零；其對稱軸x可以通過ωx+φ=kπ+π/2解出。需要特別提一下，如果圖像向上或向下平移，對稱軸不會變，但對稱中心的縱坐標會跟著變化。

6.余弦函數：既是軸對稱又是中心對稱函數，其中x=kπ為其對稱軸，（kπ+π/2，0）為其對稱中心，其變形函數可參考正弦函數解法。

7.正切函數：是中心對稱函數，不是軸對稱函數，它的對稱中心為（kπ/2，0）；

8.反比例函數：既是軸對稱又是中心對稱函數，它的對稱中心是原點，它的對稱軸為y=x和y=-x。

9.冪函數：冪函數中的奇函數很顯然是中心對稱函數，它的對稱中心是原點；冪函數中的偶函數則為軸對稱函數，它的對稱軸是y軸；而其他的冪函數不具備對稱性。

10.對號函數：是中心對稱函數，不是軸對稱函數，對號函數y=x+a/x（其中a>0）因為是奇函數所以是中心對稱，它的對稱中心是原點；很多同學誤以為它的對稱軸是在最值處，但舉個簡單的例子，我們畫“√”時不會把兩邊畫的一模一樣，這樣大家就好理解了。

11.絕對值函數：我們要說的絕對值函數主要是y=f（│x│）和y=│f（x）│這兩類。前者顯然是偶函數并且是軸對稱，其圖像關于y軸對稱；后者是把x軸下方的圖像對稱到x軸的上方，是否仍然具備對稱性，沒有一個絕對的定論，例如y=│lnx│沒有對稱性，而y=│sinx│卻仍然為軸對稱函數。

12.指數函數：既不是軸對稱，也不是中心對稱；對數函數：既不是軸對稱，也不是中心對稱。

三、函數對稱性的應用舉例

學習知識的目的是為了應用，上面我已經就我們高中階段經常遇到的函數類型在對稱性上的一些規律進行了總結，下面舉幾個例子來展示一下函數對稱性在具體解題中的應用。

例1[2].設f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x+2）=-f（x），當0≤x≤1時，f （x） = x，則f （7.5 ） = （ ）

A. 0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

解析：∵y = f （x）是定義在R上的奇函數，∴其對稱中心為點（0，0）；

又∵f （x+2 ）= -f （x） = f （-x），即f （1+ x） = f （1-x）， ∴直線x = 1是y = f （x） 對稱軸，故y = f （x）是周期為2的周期函數；∴f （7.5 ） = f （8-0.5 ） = f （-0.5 ） = -f （0.5 ） =-0.5 ，故B選項為答案。

例2.函數y=4sin（2x-π/6）的圖像的一個對稱中心是（ ）

A.（π/12，0） B.（π/3，0） C.（-π/6，0） D.（π/6，0）

解析：三角函數的性質是每年高考必考的內容，由正弦函數是中心對稱函數，且其對稱中心是（kπ，0）可知，令2x-π/6=kπ（k？？）得出的x值即為正弦函數中心對稱的橫坐標，計算得x=kπ/2+π/12（k？？），取k=0時，x=π/12，故A選項為答案。

結論

對稱性是函數的一項基本性質，不僅準確詳細地刻畫了函數各部分之間的關系，同時利用對稱性也能巧妙解題[3]。作為一個高中生，本文簡單的對函數對稱性進行了一些論述，希望可以成為同學們解答相關問題的參考資料。

參考文獻

[1]王小杭. 高一學生函數對稱性的認知研究[D].華東師范大學，2008.

[2]李紅偉. 函數對稱性的探究[J]. 上海中學數學，2012，03：45-46.

[3]葛雯雯. 淺談函數教學中的對稱性問題[J]. 數理化解題研究，2016，30：31.