雙耦合振動Matlab分析研究

董 剛

(楚雄師范學院物理與電子科學學院，云南 楚雄 675000)

雙耦合振動Matlab分析研究

董 剛

(楚雄師范學院物理與電子科學學院，云南 楚雄 675000)

本文以理論力學中雙耦合振動為例，以Matlab科學計算軟件為開發(fā)平臺，分析研究雙耦合振動演示的開發(fā)過程。并與國外用Java技術開發(fā)的雙耦合振動演示進行比較。培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力。

雙耦合振動；Matlab；振動演示

1.引言

力學系統(tǒng)多數(shù)為復雜的非線性系統(tǒng)，不可能對其運動得出一般解。作為求解的試探，常常是對相對于平衡位置有微小偏離的運動求解。利用保守力系拉格朗日方程，求出耦合振動在平衡位置附近作小振動時的本證頻率，并對耦合振動坐標作適當?shù)木€性組合[1]，觀察耦合振動的情況。多振子耦合振動的顯著特點是振子之間發(fā)生能量傳遞，能量傳遞的發(fā)生是由于相鄰兩振子的物理參量之間具有耦合作用[2]。耦合振動由于其復雜性，耦合擺的小振動在理論力學中曾求解過,但求解過程繁瑣[3]，很難給出形象直觀的振動圖像。國外使用Java技術開發(fā)的耦合振動演示課件GeneralPhysicsAnimations[4]。耦合振動演示，形象直觀，引人思考，但沒有耦合振動的分析過程，開發(fā)說明，無從知曉課件的開發(fā)過程。而物理課件的開發(fā)過程包含深奧的物理過程和復雜的計算機技術。本文以理論力學中雙耦合振動為例，以Matlab科學計算軟件為開發(fā)平臺，分析研究雙耦合振動的開發(fā)過程，并與國外用Java技術開發(fā)的雙耦合振動結果進行比較。

2.雙耦合振動

如圖1所示，為國外使用Java技術開發(fā)的雙耦合振動，形象給出兩個振動質(zhì)點的振動過程和振動圖像，彈簧的參數(shù)通過滾動條調(diào)節(jié)，演示方便，形象直觀。但雙耦合振動包含的物理過程，課件制作的過程很難知曉。以下通過雙耦合振動物理過程分析，Matlab程序設計，雙耦合振動過程演示，再現(xiàn)雙耦合振動物理課件制作開發(fā)過程。

圖1 使用Java技術開發(fā)的雙耦合振動

3.雙耦合振動過程分析

圖2 兩質(zhì)點三彈簧構成的雙耦合振動系統(tǒng)

3.1雙耦合振動系統(tǒng)

耦合振動在工程技術、分子振動等領域有重要應用。兩個質(zhì)點，放在光滑的平面上，兩個質(zhì)點，三個彈簧構成雙耦合振動系統(tǒng)。圖2為兩質(zhì)點三彈簧構成的雙耦合振動系統(tǒng)。

3.2雙耦合振動物理過程分析

N個自由度的系統(tǒng)，可由N個獨立變量描述其運動，每個獨立變量的諧振動頻率稱為振動系統(tǒng)特征振動頻率，當系統(tǒng)以特征頻率振動時，它各部分的具體振動方式就是系統(tǒng)的振動模式。雙耦合振動是兩套振動系統(tǒng)相互耦合，振動具有不同振動模式，不同的特征振動頻率。系統(tǒng)有2個自由度，取x1，x2為廣義坐標，

系統(tǒng)的勢能為：V=kx12+kx22-kx1x2

令x1=A1cos(ωt+φ)，x2=A2cos(ωt+φ)代入(1)(2)式得：

兩振幅有非零解的條件是系數(shù)行列式為零，

將ω1代入(3)，(4)得A1=A2兩物體做同相振動

將ω2代入(3)，(4)得A1=-A2兩物體做反相振動

一般振動為兩個簡諧振動的線性疊加

x1=A1cos(ω1t+φ1)+A2cos(ω1t+φ1)

x2=A1cos(ω1t+φ1)-A2cos(ω1t+φ1)

3.3 耦合振動的振動模式

(1)同相振動，當ω=ω1時，即頻率較小時，兩物體作同相等頻率振動。

(2)反相振動，當ω=ω2時，即頻率較大時，兩物體作反相等頻率振動。

(3)一般情況，兩物體振動為上述兩種情況的線性疊加。

圖3 彈簧參數(shù)不同的雙耦合振動系統(tǒng)

3.4 改變耦合振動參數(shù)

如圖3所示，通過理論計算

兩物體振動情況與上述分析相同，即頻率較小時，兩物體作同相等頻率振動，頻率較大時，兩物體作反相等頻率振動，一般情況，兩物體振動為上述兩種情況的線性疊加。

4.雙耦合振動程序設計

4.1程序設計說明

Matlab是大學較為流行的科學計算軟件，具有語言簡單，函數(shù)庫豐富，圖形化功能強的特點。根據(jù)上述理論分析，通過Matlab程序設計，計算出系統(tǒng)的特征頻率。取m=240，k=48，語句[V,D]=eig(M)，其中V為本征矢，D為本征值，w=sqrt(D)即為本征頻率。計算出本征頻率為：ω1=0.3162，ω2=0.5477，設置三種不同的初始條件，設兩物體的初速度為零，初相為零，給出三種典型的振動模式

第一種情況：x10=x20>0，同相振動

x1=x10cos ω1t

x2=x20cos ω1t

第二種情況：x10<0，x20=-x10，反相振動

x1=x20cos (ω2t+π)

x2=x20cos ω2t

第三種情況：x10>0，x20=0，耦合振動的一般振動

4.2程序設計主要代碼

clearall

m=240;

k1=48;

k2=120

M=[(2*k1+k2)/m,-k/m;-k/m,(2*k1+k2)/m];

[V,D]=eig(M)

w=sqrt(D)

A1=[0.1;0;0.10];

A2=[0;-0.1;0.10];

phi1=0;phi2=0;

t=0:0.04:150;

forj=1:3

figure(j+1)

x1=A1(j)*cos(w(1,1)*t+phi1)+A2(j)*cos(w(2,2)*t+phi2);

x2=A1(j)*cos(w(1,1)*t+phi1)-A2(j)*cos(w(2,2)*t+phi2);

subplot(2,1,1)

axis([0 20 -0.3 0.3])

plot(t,x1)

gridon

xlabel(’t/s’)

ylabel(’x1/m’)

subplot(2,1,2)

axis([0 20 -0.3 0.3])

plot(t,x2)

gridon

xlabel(’t/s’)

ylabel(’x2/m’)

end

5.雙耦合振動的振動演示

5.1m1=m2=240,k1=k2=48時，雙耦合振動演示

圖4、圖5、圖6分別給出了小頻率的同相振動、大頻率的反相振動、一般情況線性疊加的雙耦合振動演示圖。

圖4 小頻率的同相振動

圖5 大頻率的反相振動

圖6 一般情況的線性疊加

圖7 小頻率的同相振動

從圖6可見一般情況的線性疊加，與Java課件振動圖像相似。

5.2m1=m2=240,k1=24，k2=120時，雙耦合振動演示

圖7、圖8、圖9分別給出了小頻率的同相振動、大頻率的反相振動、一般情況線性疊加的雙耦合振動演示圖。

從圖9可以看出，雙耦合振動的振動與Java課件振動情況完全相同，與Java課件只能演示兩物體一般情況振動線性疊加的情況，雙耦合振動Matlab交互式課件與Java課件比較，演示內(nèi)容更豐富，參數(shù)調(diào)節(jié)更方便。

圖8 大頻率的反相振動

圖9 一般情況的線性疊加

6.結論

通過雙耦合振動交互式物理課件Matlab程序設計，與Java演示課件比較發(fā)現(xiàn)，物理課件的開發(fā)過程并非易事，涉及深奧物理知識和復雜的計算機技術，涉及教學理念的更新，開發(fā)平臺的選擇，涉及物理過程的分析和結果的討論，通過雙耦合振動Matlab分析研究可以得出以下結論：

(1)Matlab演示結果與Java演示結果完全相同；

(2)演示內(nèi)容豐富，參數(shù)調(diào)節(jié)方便；

(3)培養(yǎng)分析問題，解決問題，創(chuàng)新思維能力；

(4)用同樣的分析方法，也可以研究三耦合的振動情況。

[1]韓萍.耦合振動小振動問題研究[J].遼寧工業(yè)大學學報，2008,28(2):138―140.

[2]師一華.多振子耦合振動分析與研究[J].鄭州輕工業(yè)學院學報，2000,15(1):78―80.

[3]吳清林，楊文明.對串聯(lián)耦合振動的模擬與研究[A].物理與工程.全國高等學校物理基礎課程教育學術研討會論文集[C].2013:154―157.

[4]Java課件演示網(wǎng)址：http://www.surendranath.org/

(責任編輯 司民真)

AnAnalyticalStudyofDoubleCoupledOscillationswithMatlab

DONGGang

(School of Physics & Electronic Science, Chuxiong Normal University, 675000, Yunnan Province)

Inthispaper,thedoublecoupledoscillationsintheoreticalmechanicsistakenasanexample.WithMatlabscientificcomputingsoftwareasthedevelopmentplatform,thethesisanalyzesthedevelopmentprocessofdoublecoupledoscillations.ComparedwiththedoublecoupledoscillationsdevelopedbyJavatechnologyabroad,thestudyaimsattrainingstudents’creativethinkingability.

DoubleCoupledoscillations；Matlab；Vibrationdemonstration

教育部高等學校大學物理課程教學指導委員會教學改革項目，項目編號：DWJZW201540xn。

2017 - 04 - 16

董 剛(1963―)，男，楚雄師范學院物理與電子科學學院教授，研究方向：物理學，物理課件制作。

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1671 - 7406(2017)03 - 0013 - 05