一道高考題的解法及反思

摘要：2012年全國新課標卷這道選擇題是多個知識點的小型綜合，滲透著各種數學思想和方法，體現基礎知識中求深度、考能力的導向，能否作對這道題并推廣至這一類題，本文對此做一些分析。

關鍵詞：函數與反函數，求導用單調性求最值

題目（2012全國新課標理科第12題）

設點 在曲線 上，點 在曲線 上，則 的最小值為（）

分析：直接求解非常困難，若觀察兩函數互為反函數，利用反函數的性質結合圖像便有如下巧解.

解析：易知 與 互為反函數，其圖像關于直線 對稱，故只需求點 到直線 距離 的最小值，且由對稱性可知 設 則 （點 在 的上方，由線性規劃知識點可知 ，所以 ，則 當 時， 當 時， 從而 在 處取得最小值， ，故 此時

反思：此題比較新穎，若直接設兩點坐標，用兩點間距離公式求解，則陷入誤區.若注意到兩函數互為反函數，圖像關于直線 對稱，故只需考慮點 （或點 ）到直線 距離最小值，在此解法中考查了函數有關概念、點到直線距離及線性規劃知識點和利用導數求最值問題.屬于綜合性較強和在知識交匯點處命題的原則，體現數形結合與對稱的思想.

按此解法不難將此題作如下推廣：

設點 在曲線 上，點 在曲線 上，則

作者簡介：耿梁燕，1978年12月9日出生，女，新疆兵團二中數學組，中教一級教師。