被動式電液力伺服系統的自適應反步滑模控制

李閣強， 顧永升， 李健， 李躍松， 郭冰菁

(1.河南科技大學 機電工程學院， 河南 洛陽 471003;2.河南科技大學 機械裝備先進制造河南省協同創新中心， 河南 洛陽 471003)

被動式電液力伺服系統的自適應反步滑模控制

李閣強1,2， 顧永升1， 李健1， 李躍松1， 郭冰菁1

(1.河南科技大學 機電工程學院， 河南 洛陽 471003;2.河南科技大學 機械裝備先進制造河南省協同創新中心， 河南 洛陽 471003)

針對被動式電液力伺服系統存在固有的多余力矩、控制伺服閥的非線性以及參數時變性問題，提出一種自適應反步滑模控制策略。建立系統的非線性狀態空間方程；基于反步控制理論思想，通過3步遞推法設計系統的反步控制器；在反步法遞推的第3步結合滑模控制方法，選擇合適的Lyapunov函數，給出系統不確定參數的自適應律，設計出非線性自適應反步滑模控制器，并利用Lyapunov穩定性定理對所設計的控制器穩定性進行證明。仿真和實驗結果表明，該控制器能夠有效地抑制多余力矩，并且對參數攝動及外界擾動具有較強的魯棒性。

控制科學與技術； 被動式電液力伺服系統； 多余力矩； 參數時變性； 非線性； 自適應反步控制； 滑模控制

0 引言

被動式電液力伺服系統是一地面半實物仿真設備，用來模擬飛行器在飛行過程中所受的空氣動力載荷[1]。被動式電液力伺服系統(加載系統)由于受舵機(承載系統)的強位置干擾會產生較大的多余力矩，又由于該系統中電液伺服閥輸出控制流量的非線性特性和系統參數時變性，所以很難對其進行高性能的控制[2]。針對上述問題，國內外學者提出了各種方法以提高其系統加載性能。總體來說，抑制多余力矩的方法基本上分為兩大類，即結構補償方法和控制補償方法。

結構補償方法主要通過改變其系統結構或增添硬件來消減多余力矩。如文獻[3]利用位置同步馬達來實現位置跟蹤，并在其轉子上增添加載馬達完成系統加載；文獻[4]則使用雙閥控制原理分別實現其位置跟蹤和系統加載；文獻[5]提出在加載缸的兩腔分別連接一個蓄能器來補償部分強迫流量或在兩腔之間增加限尼孔，從而來減小多余力矩的作用，但該類方法增加了系統結構的復雜性和成本。

控制補償方法主要通過控制算法來實現對多余力矩的消減，該方法成本低，使用靈活。文獻[6-7]采用參數最優前饋補償控制；文獻[8]提出了結合動態積分滑模和小腦模型關節控制器(CMAC)網絡的自適應滑模控制；文獻[9]設計了基于自抗擾控制技術和比例積分同步誤差反饋校正的復合控制策略。另外，在控制策略上還有些學者提出了魯棒控制[10-11]、μ理論控制[12]、定量反饋理論控制[13-14]等各種控制方法。近年來，基于反步理論的控制研究及應用得到了國內外學者的重視，其中文獻[15-16]提出了一種基于指令濾波的自適應反步控制方法，應用于軋機電液位置伺服系統中，從而避免了傳統反步控制的計算膨脹問題；文獻[17]針對n階參數嚴格反饋的非匹配不確定系統，將反步自適應控制與非奇異快速終端滑模控制結合，提出了一種自適應反步非奇異快速終端滑模控制方法；文獻[18-20]將反步控制理論思想應用于電液負載模擬器中，并設計了反步自適應控制器，但由于所設計的控制量與參數自適應律之間存在循環嵌套的問題，則會影響其系統的加載性能。

被動式電液力伺服系統液壓動力機構和控制伺服閥的高階特性，使傳統多余力矩抑制補償方法受高頻干擾的限制，又由于系統固有的非線性特性和參數不確定性，更增加了控制器的設計難度。為此，本文運用反步自適應控制理論，將被動式電液力伺服系統降階處理，并結合滑模控制思想，設計了被動式電液力伺服系統的自適應反步滑模控制器(ABSC)，通過仿真和實驗結果證明了該控制器的有效性。

1 被動式電液力伺服系統描述

被動式電液力伺服系統如圖1所示。由圖1知該系統主要由電液伺服閥、閥控液壓馬達、控制器、角位移和扭矩傳感器、機械臺體5部分組成。圖1中左側為承載系統即電液位置伺服系統，右側為加載系統即電液力矩伺服系統，兩個系統通過剛性軸進行連接，并分別跟蹤各自指令信號，利用角位移傳感器和扭矩傳感器測量信號實現閉環控制。

伺服閥負載流量方程為

(1)

式中：QL為負載流量(m3/s)；Cd為閥口流量系數；w為伺服閥面積梯度(m)；xv為伺服閥閥芯位移(m)；ps為油源壓力(MPa)；pL為負載壓力 (N/m2)；ρ為液壓油密度(kg/m3)。

加載馬達的流量連續性方程為

(2)

式中：Dm為馬達的理論排量(m3/rad)；θj為加載馬達軸的轉角(rad)；Ctm為馬達總的泄漏系數(m5/(N·s))；Vm為馬達腔和連接管道的總容積(m3)；βe為有效體積彈性模量(N/m2)。

為了減小承載馬達對加載馬達的影響，連接環節的剛度應遠遠小于扭矩傳感器的剛度，此時加載系統屬于單自由度驅動力控制系統，傳感器檢測的加載力矩即為系統輸出的控制力矩，力矩平衡方程為

(3)

式中：J為液壓馬達和負載折算到馬達軸上的總慣量(kg·m2)；Bc為黏性阻尼系數(N·m/(rad·s-1))；G為舵機及連接環節的等效負載剛度(N·m/rad)；θd為承載馬達軸的轉角(rad)；TL為系統輸出力矩(N·m)。

系統輸入電壓um與閥芯位移xv之間還有一個伺服放大器，由于伺服閥固有頻率遠遠高于加載頻率，故伺服放大器和伺服閥均可等效為比例環節，因此有

Ka=i/um,

(4)

Gsv=xv/i,

(5)

式中：Ka為伺服放大器增益(A/V)；Gsv為伺服閥增益(m/A)；i為伺服閥輸入電流(A)。

(6)

y=TL,

(7)

式中：y為系統輸出；

2 ABSC設計

2.1 理論概述

反步理論的主要思想是將一個復雜的高階系統拆解成若干個階數較低的子系統，然后從最終控制量所在的子系統開始依次對每個子系統設計虛擬控制器，直到輸入子系統結束，系統的最終控制信號是通過一系列虛擬信號以遞歸的方式得到[21-23]。

將反步理論應用于自適應控制中，針對每個子系統構造一個Lyapunov函數，使每一狀態變量具有適當的漸進穩定特性，并對系統中不確定性參數設計自適應律；同時，結合滑模控制方法，可以有效地避免在設計自適應律時產生相互嵌套的問題，從而提高系統的控制性能。

2.2 ABSC設計及分析

取各誤差為

e1=θj1-θjd1,

(8)

e2=θj2-θjd2,

(9)

e3=θj3-θjd3,

(10)

式中：θjdi為系統狀態變量θji的期望值，i=1,2,3. 根據以上分析，將被動式電液力伺服系統分解為3個子系統進行遞推設計，各子系統的虛擬控制量推導過程為：

1)輸出子系統的虛擬控制量設計。將(8)式兩端對時間進行求導，并與(9)式聯立得

(11)

取Lyapunov函數：

(12)

對(12)式求導，并將(11)式代入得

(13)

取虛擬控制為

(14)

式中：f1為輸出子系統控制器調節系數，是一給定正實數。

將(14)式代入到(13)式，化簡后得

(15)

2)第2個子系統的虛擬控制量設計。將(14)式代入到(9)式整理得

(16)

(16)式變形得

(17)

將(17)式代入到(11)式得

(18)

對(16)式進行求導并聯立(6)式、(10)式、(18)式整理得

(19)

取Lyapunov函數

(20)

對(20)式求導有

(21)

取虛擬控制為

(22)

式中：f2為第2子系統控制器調節系數，為一給定正實數。

將(22)式代入(21)式中整理得

(23)

3)與滑模控制相結合。為了避免在下面設計自適應律時產生循環嵌套的問題。在這一步采用滑模控制方法進行設計，定義其滑動流形為

s=c1e1+c2e2+e3,

(24)

式中：c1、c2為使(25)式為Hurwitz的正常數。對(24)式求導得

(25)

(26)

對(26)式求導得

(27)

取τ1=a1a4、τ2=a2a4、τ3=a3a4、τ4=a4a5，(27)式可化簡為

(28)

一般控制對象的不確定因素的上下界值很難預知，為了避免使用τ1、τ2、τ3、τ4、a4的上下界問題，采用自適應算法預估τ1、τ2、τ3、τ4、a4的值。

取系統的Lyapunov函數為

(29)

式中：λi>0(i=1,2,3,4,5)為參數自適應律調節系數。

對(29)式求導得

(30)

因此，所設計的ABSC為

(31)

式中：f3為輸入子系統控制器調節系數，是一給定正實數。

將(31)式代入(30)式中，整理得

(32)

取參數變化的自適應律為

(33)

由(11)式和(14)式整理得

(34)

通過對Lyapunov函數的分析，可以得到系統穩定性條件，先將(33)式代入(32)式中整理得

(35)

式中：E=[e1,e2,e3]T；

為了確保系統是漸進穩定的，則ABSC中參數c1、c2、f1、f2、f3必須滿足不等式：

(36)

系統穩定性證明：當控制器參數c1、c2、f1、f2、f3滿足(36)式時，則矩陣Q為正定矩陣。

圖2 非線性控制系統方框圖Fig.2 Block diagram of nonlinear control system

3 仿真分析

為了檢驗所設計ABSC的有效性，運用Matlab仿真軟件平臺，建立該控制器的Simulink模型如圖3所示。仿真中各參數取自被動式電液力伺服系統仿真實驗臺，如表1所示。

圖3 ABSC的Simulink模型Fig.3 Simulink model of ABSC

表1 各參數取值Tab.1 Parameter values

設計的控制器與自適應律參數選為：f1=45，f2=18，f3=34，c1=0.1，c2=0.2，λ1=4×10-10，λ2=2×10-12，λ3=1×10-9，λ4=3×10-6，λ5=1.4×10-3.

為了研究承載系統對多余力矩的影響，針對承載系統的干擾進行仿真分析，結果如圖4所示，圖中f代表運動頻率，A代表承載系統幅值。其中，在無控制器情況下，加載系統力矩信號輸入為0 N·m，承載系統位置信號在不同幅值及不同頻率下輸入。從圖4可知，多余力矩隨著承載系統位置信號的幅值和頻率的增加而增加。

圖4 承載系統的幅值和頻率對多余力矩的影響Fig.4 Effects of amplitude and frequency of bearing system on extra torque

為檢驗所設計控制器的有效性，下面根據各種加載工況，對比ABSC和傳統PID控制器進行仿真分析，該過程均為正弦波加載。表2、表3分別為線性加載和非線性加載仿真曲線幅值最大誤差。

表2 線性加載梯度仿真曲線幅值最大誤差Tab.2 Amplitude maximum error of linear load gradient simulation curves

表3 非線性加載梯度仿真曲線幅值最大誤差Tab.3 Maximum amplitude errors of nonlinear load gradient simulation curves

線性加載梯度仿真如圖5所示，分別令加載梯度Kt=10 N·m/(°)，承載系統幅值為4°，頻率5 Hz；加載梯度Kt=30 N·m/(°)，承載系統幅值為4°，頻率15 Hz.

圖5 線性加載梯度仿真曲線Fig.5 Simulation curves of linear load gradient

由圖5并結合表2的最大誤差數據可以看出，隨著加載梯度和加載頻率的增加，ABSC對多余力矩干擾程度的強弱適應性及對多余力矩干擾抑制性都優于PID控制器，特別是在高梯度、高頻加載時，ABSC的控制效果尤為突出。

非線性加載梯度仿真如圖6所示，分別令加載力矩為30 N·m，頻率5 Hz，承載系統為幅值4°，頻率3 Hz；加載力矩為80 N·m，頻率10 Hz，承載系統為幅值3°，頻率5 Hz.

圖6 非線性加載梯度仿真曲線Fig.6 Simulation curves of nonlinear load gradient

由圖6及表3可以看出，采用PID控制器控制時，力矩輸出曲線出現偏置現象，曲線呈“跳動”狀態，且有一定的相位滯后，而采用ABSC控制時并沒有出現以上現象，可見使用設計的ABSC對非線性加載仍然具有很好的控制效果。

為驗證本文設計控制器對外界擾動的抑制性能，分別取加載梯度Kt=10 N·m/(°)，承載系統幅值為1°，頻率5 Hz和加載梯度Kt=50 N·m/(°)，承載系統幅值為1°，頻率15 Hz的正弦波加載，且在力矩輸出端附加幅值為15 N·m、周期為0.6 s、寬度為0.3 s的方波信號干擾(見圖7)。

圖7 方波干擾的仿真曲線Fig.7 Simulation curves of square wave interferrence on load system

由圖7可以看出，該系統在0.3 s時受到外界方波信號的擾動，ABSC能夠很好地抑制外界的干擾，控制效果好于PID控制器，可見ABSC對外界擾動具有較強的抑制能力。

4 實驗驗證

被動式電液力伺服系統仿真實驗臺如圖8所示。該實驗臺執行元件選用雙葉片式伺服擺動馬達，其最大擺角為±45°；電液伺服閥采用襄陽航宇機電液壓應用技術有限公司產HY130型號伺服閥；通過選用型號為YH3816的光電編碼器測試馬達的角位移信號，速度和加速度信號通過對角位移信號經1階微分和2階微分得到，為了確保速度和加速度信號的品質，采用Windows多媒體定時器和多線程技術，定時準確，進而保證采樣精度；扭矩傳感器選用中航701所產AKC-98扭矩傳感器；IPC選用臺灣研華公司產工控機IPC-610L；實驗數據采集選擇北京阿爾泰科技發展有限公司產的PCI 8602型數據采集卡；采樣時間為1 ms；系統工作壓力為21 MPa；該實驗臺軟件系統基于Windows平臺，使用C++Builder語言進行程序設計，根據控制器輸出表達式(31)式，基于角位移傳感器和扭矩傳感器的檢測信號得到控制器的輸出量，編寫控制程序，進行力矩輸出控制。

圖8 被動式電液力伺服系統仿真實驗臺Fig.8 Passive electro-hydraulic force servo system simulation test table

為了驗證ABSC的有效性，分別進行線性加載和非線性加載實驗驗證。為了保證仿真與實驗的一致性，實驗中各加載工況下的參數取值與仿真中的參數取值完全相同。圖9、圖10分別為線性加載和非線性加載的實驗驗證曲線。表4、表5分別為線性加載和非線性加載實驗曲線幅值最大誤差。

圖9 線性加載梯度實驗驗證曲線Fig.9 Experimental verification curves of linear load gradient

圖10 非線性加載梯度實驗驗證曲線Fig.10 Experimental verification curves of nonlinear load gradient

表4 線性加載梯度實驗曲線幅值最大誤差Tab.4 Maximum amplitude errors of linear load gradient experimental curves

由以上實驗結果可知，其理論和仿真是正確有效的。被動式電液力伺服系統在任意頻率下進行線性和非線性加載時，采用本文設計的ABSC控制器控制的力矩跟蹤效果均優于PID控制器，幅值誤差均不超過10%且相位滯后很小。

表5 非線性加載梯度實驗曲線幅值最大誤差Tab.5 Maximum amplitude errors of nonlinear load gradient experimental curves

5 結論

1)將自適應反步滑模控制運用到被動式電液力伺服系統中，通過對控制器的設計有效地抑制了系統的多余力矩，并解決了由于電液伺服閥引起的非線性特性及參數時變性問題。

2)在ABSC設計的最后一步結合滑模控制技術，簡化了該控制器的設計，有效避免了控制量與自適應律相互嵌套的問題，且具有更好的實用性。

3)仿真與實驗結果表明，在各種工況加載、參數攝動及外界擾動下，ABSC具有較好的控制效果，能夠有效地提高其系統的加載性能。

References)

[1] 汪成文, 焦宗夏, 羅才瑾. 基于改進的速度同步控制的電液負載模擬器[J]. 航空學報, 2012, 33(9):1717-1725. WANG Cheng-wen, JIAO Zong-xia, LUO Cai-jin, An improved velocity synchronization control on electro-hydraulic load simulator[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2012, 33(9):1717-1725.(in Chinese)

[2] Han S S, Jiao Z X, Yao J Y, et al. Compound velocity-synchronizing control strategy for electro-hydraulic load simulator and its engineering applications[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 2014, 136(5): 0510021-3.

[3] Yu C Y, Liu Q H, Zhao K D. Velocity feedback in load simulator with a motor synchronizing in position[J]. Journal of Harbin Institute of Technology: New Series, 1998, 5(3):78-81.

[4] 郝經佳. 雙閥控制在電液負載仿真臺中的應用[J]. 中國機械工程, 2002, 13(10): 814-816. HAO Jing-jia. Application of dual value in electro-hydraulic simulator[J]. China Mechanical Engineering, 2002, 13(10): 814-816.(in Chinese)

[5] Ramden C, Janson A, Palmberg J O. Design and analysis of a load simulator for testing hydraulic values[C]∥10th Bath International Fluid Power Workshop. Bath, UK: Fluid Power Engineering Challenges and Solution, 1997: 10-12.

[6] 韓松杉, 焦宗夏, 尚耀星, 等. 基于舵機指令前饋的電液負載模擬器同步控制[J]. 北京航空航天大學學報, 2015, 41(1):124-132. HAN Song-shan, JIAO Zong-xia, SHANG Yao-xing, et al. Synchronizing compensation control of electro-hydraulic load simulator using command signal of actuator[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2015, 41(1):124-132. (in Chinese)

[7] 歐陽小平, 李鋒, 朱瑩, 等. 重載航空負載模擬器非線性最優前饋補償控制[J]. 航空學報,2016, 37(2):669-679. OUYANG Xiao-ping, LI Feng, ZHU Ying, et al. Nonlinear optimal feed forward compensation controller for heavy load aviation load simulator[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(2):669-679. (in Chinese)

[8] 楊芳, 袁朝輝. 電液負載模擬器的自適應滑模控制方法[J]. 計算機仿真, 2011, 28(11):168-171, 204. YANG Fang, YUAN Chao-hui. Adaptive sliding control for electro-hydraulic load simulator[J]. Computer Simulation, 2011, 28(11):168-171, 204.(in Chinese)

[9] 郭棟, 付永領, 盧寧, 等. 自抗擾控制技術在電液力伺服系統中的應用[J]. 北京航空航天大學學報, 2013, 39(1):115-119. GUO Dong, FU Yong-ling, LU Ning, et al. Application of ADRC technology in electrohydraulic force servo system[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2013, 39(1):115-119.(in Chinese)

[10] Yao J Y, Jiao Z X, Yao B, et al. Nonlinear adaptive robust force control of hydraulic load simulator[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2012, 25(5): 766-775.

[11] Wang C W, Jiao Z X, Wu S, et al. A practical nonlinear robust control approach of electro-hydraulic load simulator[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2014, 27(3): 735-744.

[12] 李閣強, 趙克定, 袁銳波, 等.μ理論在電液負載模擬器中的應用[J]. 航空學報, 2007, 28(1):228-233. LI Ge-qiang, ZHAO Ke-ding, YUAN Rui-bo, et al. Application ofμtheory in electrohydraulic load simulator [J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2007, 28(1):228-233.(in Chinese)

[13] Nam Y, Hong S K. Force control system design for aerodynamic load simulator[J]. Control Engineering Practice, 2002, 10(5): 549-558.

[14] Niksefat N, Sepehri N. Design and experimental evaluation of a robust force controller for an electro-hydraulic actuator via quantitative feedback theory[J]. Control Engineering Practice, 2000, 8(12): 1335-1345.

[15] 方一鳴, 石勝利, 李建雄, 等. 基于指令濾波的電液伺服系統自適應反步控制[J]. 電機與控制學報, 2013, 17(9):105-110. FANG Yi-ming, SHI Sheng-li, LI Jian-xiong, et al. Adaptive backstepping control for electro-hydraulic servo system with input saturation based on command filter[J]. Electric Machines and Control, 2013,17(9):105-110.(in Chinese)

[16] Farrell J A, Polycarpou M, Sharma M, et al.Command filtered backstepping[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, 54(6): 1391-1395.

[17] 李浩, 竇麗華, 蘇中. 非匹配不確定系統的自適應反步非奇異快速終端滑模控制[J]. 控制與決策, 2012, 27(10):1584-1587, 1592. LI Hao, DOU Li-hua, SU Zhong. Adaptive backstepping non-singular fast terminal sliding mode control for mismatched uncertain systems[J]. Control and Decision, 2012, 27(10):1584-1587, 1592.(in Chinese)

[18] 曹健, 張彪, 趙克定. 具有參數不確定被動力伺服系統的反步控制[J]. 哈爾濱工業大學學報, 2010, 42(7):1071-1075. CAO Jian, ZHANG Biao, ZHAO Ke-ding. Backstepping control of passive force control system with parameter uncertainties[J]. Journal of HarbinInstitute of Technology, 2010, 42(7):1071-1075.(in Chinese)

[19] Karimi A, Feliachi A. Decentralized adaptive backstepping control of electric power systems[J]. Electric Power Systems Research, 2008, 73(3): 484-493.

[20] 張彪.電液負載模擬器多余力矩抑制及其反步自適應控制研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業大學, 2009. ZHANG Biao. Extra torque rejection and adaptive backstepping control of electro-hydraulic load simulator[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2009.(in Chinese)

[21] 郭亞軍, 王曉鋒, 馬大為. 自適應反演滑模控制在火箭炮交流伺服系統中的應用[J]. 兵工學報, 2011, 32(4):493-497. GUO Ya-jun, WANG Xiao-feng, MA Da-wei. Application of adaptive backstepping sliding mode control in alternative current servo system of rocket gun[J]. Acta Armamentarii, 2011, 32(4):493-497.(in Chinese)

[22] 方一鳴, 焦宗夏, 王文賓, 等. 軋機液壓伺服位置系統的自適應反步滑模控制[J]. 電機與控制學報, 2011, 15(10):95-100. FANG Yi-ming, JIAO Zong-xia, WANG Wen-bin, et al. Adaptive backstepping sliding mode control for rolling mill hydraulic servo position system[J]. Electric Machines and Control, 2011, 15(10):95-100.(in Chinese)

[23] 付培華, 陳振, 叢炳龍，等. 基于反步自適應滑模控制的永磁同步電機位置伺服系統[J]. 電工技術學報, 2013, 28(9):288-293, 301. FU Pei-hua, CHEN Zhen, CONG Bing-long, et al. A position servo system of permanent magnet synchronous motor based on backstepping adaptive sliding mode control[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2013, 28(9):288-293, 301.(in Chinese)

Adaptive Backstepping Sliding Mode Control of Passive Electro-hydraulic Force Servo System

LI Ge-qiang1,2， GU Yong-sheng1， LI Jian1， LI Yue-song1， GUO Bing-jing1

(1.School of Mechatronics Engineering, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471003, Henan, China；
2.Collaborative Innovation Center of Machinery Equipment Advanced Manufacturing of Henan Province, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471003, Henan, China)

An adaptive backstepping sliding mode control strategy is proposed for passive electro-hydraulic force servo system, which contains inherent extra torque, nonlinearity of servo valve and time-varying parameters. A nonlinear state space equation of the system is established. A backstepping controller is designed based on the backstepping control theory and three-step recursive method. A nonlinear adaptive backstepping sliding mode controller is designed by using the sliding mode control method in the third step of the backstepping method, selecting a proper Lyapunov function and gving the adaptive law of uncertain parameters. The stability of the controller is tested by the Lyapunov stability theory. Both the simulated and test results show that the controller can effectively restrain the extra torque and possesses a strong robustness to both parameter perturbation and external disturbance.

control science and technology; passive electro-hydraulic force servo system; extra torque; time-varying parameter; nonlinear; adaptive backstepping control; sliding mode control

2016-11-10

國家自然科學基金項目(51175148)

李閣強(1971—), 男, 副教授, 碩士生導師。E-mail:hitligeqiang@163.com

V216.8

A

1000-1093(2017)03-0616-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.03.027