《函數(shù)的奇偶性》課堂實(shí)錄

高昌勝+萬(wàn)忠國(guó)

中圖分類號(hào)：G633.6

（展示圖片：見(jiàn)附件）

師：（問(wèn)題一）同學(xué)們能將下列圖像進(jìn)行分類嗎？ （同學(xué)們開(kāi)始討論）

生：一類圖像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，另一類圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

師：在數(shù)學(xué)中我們把圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)叫偶函數(shù)；圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)叫奇

函數(shù)（從而自然的引入本節(jié)的課題-----函數(shù)的奇偶性。教師板書課題）

師：（問(wèn)題二）有沒(méi)有既不關(guān)于y軸對(duì)稱也不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖像？（學(xué)生思考）

（教師進(jìn)一步提示） 我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了哪些函數(shù)？

（在教師的啟發(fā)下，學(xué)生開(kāi)始活躍起來(lái)，紛紛討論起來(lái)）

師：同學(xué)們能列舉出幾個(gè)這樣的函數(shù)嗎

生：一次函數(shù)f（x）=x+4，二次函數(shù)f（x）=（x-2）2+2既不關(guān)于y軸對(duì)稱又不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

（教師在黑板上作出函數(shù)的圖像讓同學(xué)們觀察）

師：這些函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)？

生：它們既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

師：（問(wèn)題三）同學(xué)們能判斷下列函數(shù)的奇偶性嗎？。

（黑板上書寫函數(shù)（1）f（x）=x4+2， （2） f（x）=x5+x3）

（學(xué)生經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的思考、討論后再一次陷入了沉思，學(xué)生的心里充滿困惑：這

兩個(gè)函數(shù)的圖像很難畫出來(lái)，甚至根本畫不出來(lái)，如果畫不出函數(shù)的圖像該怎么

判斷？部分學(xué)生想到能不能不畫出函數(shù)的圖像，而判斷出一個(gè)函數(shù)的奇偶性？）

師：，我們從函數(shù)的圖像無(wú)法入手，為了解決這些問(wèn)題，能不能從代數(shù)解析式的角度去

研究什么是奇函數(shù)、什么是偶函數(shù)？

（通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置，讓學(xué)生明白究奇函數(shù)和偶函數(shù)定義的必要性，有效的激發(fā)了

學(xué)生探求新知的欲望，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與思考的積極性和主動(dòng)性）

師：結(jié)合偶函數(shù)f（x）=x2的解析式，怎樣從“數(shù)”上觀察特征。

（在教師的啟發(fā)下學(xué)生通過(guò)列舉自變量x的取值：-3、-2、-1、0、1、2、3，計(jì)算

得到f（x）的函數(shù)值9、4、1、0、1、4、9。發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f（x）=f（-x），由此，學(xué)生進(jìn)一

步猜想：對(duì)任意的自變量x是否都有f（x）=f（-x）成立？）

師：（問(wèn)題四）如果函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，我們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。那

么如何從代數(shù)的角度定義偶函數(shù)呢？

（有了前面的鋪墊，學(xué)生很容易地歸納得到了偶函數(shù)的定義：）

如果對(duì)于函數(shù)y=f（x）的定義域的任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么稱函數(shù)y=（x）

是偶函數(shù)。

師：圖五和圖六有什么相同和不同呢？它們都是偶函數(shù)嗎？

生：解析式相同，定義域不同，圖像不同。圖六是偶函數(shù)，圖五不是偶函數(shù)。

師：（問(wèn)題五）相同的函數(shù)一個(gè)是偶函數(shù)，一個(gè)不是偶函數(shù)，這是為什么呢？

生：因?yàn)槎x域不同，不是關(guān)于不對(duì)稱的，所以圖像不是關(guān)于y軸對(duì)稱的。

師：這個(gè)回答只是從圖像觀察得到，我們能不能從函數(shù)的定義中找到定義域?yàn)槭裁幢仨?/p>

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。（學(xué)生又被難住了，不知怎樣回答，讓學(xué)生討論）

生：在定義中要計(jì)算f（x）和f（-x），所以x和-x都必須在定義域內(nèi)，即定義域必須關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱。

師：通過(guò)以上的分析，同學(xué)們知道判斷函數(shù)偶性的前提條件是什么嗎？

（學(xué)生齊聲回答）

生：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

師：二次函數(shù)f（x）=（x-2）2+2的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為什么不是偶函數(shù)呢？

生：因?yàn)椴粷M足f（-x）=f（x），所以不是偶函數(shù)。

師：同學(xué)們能總結(jié)出判斷一個(gè)函數(shù)是不是偶函數(shù)的步驟呢？（讓學(xué)生討論）

生：第一步，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

若定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則f（x）不是偶函數(shù)；

若是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則進(jìn)行第二步。

第二步，檢驗(yàn)f（-x）與f（x）的關(guān)系。

若f（-x）=f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；

若f（-x）≠f（x），則函數(shù)f（x）不是偶函數(shù)。

師：同學(xué)們總結(jié)了判斷函數(shù)是偶函數(shù)的步驟，下面我們看一個(gè)具體的例題。

（教師在黑板上展示例題：判斷函數(shù)f（x）=x4+2在定義域?yàn)閇-4，4]的區(qū)間上的奇偶性。）

（在教師和學(xué)生的共同討論下，教師在黑板上展示判斷過(guò)程。）

師：（問(wèn)題六）同學(xué)們能用研究偶函數(shù)的方法類比研究下面兩個(gè)問(wèn)題嗎？

1.奇函數(shù)的定義；2判斷判斷一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的步驟。

（經(jīng)過(guò)學(xué)生討論，得到以下結(jié)論）

奇函數(shù)定義：如果對(duì)于函數(shù)y=f（x）的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x），

那么稱函數(shù)y=（x）是奇函數(shù)。

判斷一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的步驟：

第一步，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

若定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則f（x）不是奇函數(shù)；

若是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則進(jìn)行第二步。

第二步，檢驗(yàn)f（-x）與f（x）的關(guān)系。

若f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；

若f（-x）≠f（x），則函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)。

師：（問(wèn)題七）通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們知道：函數(shù)有奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。

有沒(méi)有既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)呢？（同學(xué)們又陷入沉思）

這個(gè)問(wèn)題留給同學(xué)們課外思考好不好？ （學(xué)生齊聲回答：好?。?/p>

師：本節(jié)課在同學(xué)們的積極參與下，我們通過(guò)討論得出了奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義以及判

斷函數(shù)奇偶性的方法。感謝同學(xué)們的參與，謝謝。（本節(jié)課到此結(jié)束）