多元copula分布函數在小流域設計洪水頻率分析中的應用研究

劉長君

（遼寧省沈陽水文局，遼寧沈陽110043

多元copula分布函數在小流域設計洪水頻率分析中的應用研究

劉長君

（遼寧省沈陽水文局，遼寧沈陽110043

本文采用多元copula分布函數對遼寧地區小流域設計洪水進行頻率分析。研究結果表明：多元copula分布函數可結合分析樣本數據點采用多參數進行分布曲線的調整，適用性好于單要素分布函數；在區域洪水頻率計算中，多元copula分布函數計算值總體上小于單要素分布函數，且設計值均較為合理。研究成果對于區域小流域設計洪水頻率分析方法提供參考價值。

多元copu la分布函數；單要素分布函數；設計洪水頻率分析；小流域

中小河流治理工程需要對小流域的設計洪水進行頻率分析，結合分析的設計洪水成果再對中小河流河道提防高度進行設計，而設計洪水的合理性對于河道提防設計至關重要，而區域洪水頻率分析是設計洪水計算的關鍵，為此有許多學者對區域設計洪水頻率分析進行相關研究，并取得一定研究成果［1-6］，但是成果大都為單要素分布函數進行洪水頻率分析，而單要素分布函數計算參數較為單一，存在適用局限的問題。當前，多元copula函數在經濟流域以及海潮頻率分析中得到具體應用［7-10］，但是在設計洪水頻率分析中應用還較少，特別是在遼寧地區小流域設計洪水頻率分析中還未進行具體應用，為此本文引入多元copula函數，對遼寧地區小流域設計洪水頻率進行分析，分析多元copula函數在遼寧地區小流域設計洪水頻率分析的適用性。

1 多元copu la函數計算原理

多元Copula函數設定模型計算變量X和Y的概率分布密度函數，并計算概率密度分布H（X，Y）對應的Copula函數C（u，v），函數計算方程為：

式（2）和（3）中u和v表示為計算的C（u，v）函數中的邊際概率分布函數；FX和FY表示為C（u，v）函數條件分布概率函數。

本文結合多元Copula函數對小流域設計洪水頻率進行分析，其中應用變量CG、CC1以及CF來代表模型的特征計算函數，α、β、λ分別代表特征函數的計算參數，τ代表Kendall模型計算的自相關系數，τ計算方程為：

計算完成多元Copula函數的τ值后，需要對模型進行K-S檢驗，K-S檢驗公式為：

式中，Cemp、Ci表示自相關檢驗的變量函數。

多元Copula函數設計洪水計算步驟為第一步計算不同變量的邊緣概率分布函數，計算方程為：

式中，α、β、α0表示為模型計算的形狀系數；x表示為設計洪水樣本數據；Γ（α）為模型計算的Γ函數。

在計算過程中對于相鄰時間尺度的概率條件分布函數的計算方程為：

式中，ut，n+1表示為前一個時間尺度的設計洪水頻率值；St，St-1表示為計算時間尺度下的設計洪水頻率的概率分布密度函數；xt，n+1為設計洪水頻率值；Ft表示為模型設計洪水概率分布函數。

在對模型變量概率密度計算后，需要對模型設置信度區間，計算方程為：

圖1 不同參數下多元copula分布函數頻率曲線

式中，uup、ulow分別表示模型置信度上限和下限，St、Ft同方程（7）變量意義，xup、xlow模型變量置信度上限和下限。

2 在區域小流域設計洪水頻率分析中的應用

2.1 設計區域概況

本文選取遼寧10個小流域設計洪水進行頻率分析，10個區域洪水資料的系列均值55年以上，且對模型洪水數進行水文數的可靠性、一致性的檢驗，結合設計區域的洪水數據，采用多元copula函數進行設計洪水頻率的分析，并對比了單要素分布函數的設計洪水成果。

2.2 不同參數值下多元copula分布函數頻率適線分析

為分析不同參數下多元copula分布函數的洪水頻率適線結果，結合設計區域洪水資料，分別分析了四組參數下的多元copula分布函數頻率曲線，結果見圖1。

圖1為不同參數下多元copula分布函數頻率曲線，從圖中可以看出，當β=0.5，a=0.3～0.4時，多元copula分布函數的形狀變化較小，但是在低頻率區域，隨著a的增大其設計值變大，而當a=0.5，β=0.6～0.9時，多元copula分布函數的形狀變化較為明顯，可見β值的變大對多元分布函數的形狀的影響要大于a的變化，且在高頻率區域，隨著β的增大其設計頻率值呈現逐漸減小的規律。

2.3 不同分布函數在小流域設計洪水頻率分析結果對比

分別采用單要素分布函數和多元copula分布函數對不同設計區域的設計洪水進行頻率分析，結果見表1和表2。并對比不同函數在不同參數下的洪水頻率曲線，結果見圖2。

表1 單要素分布函數下不同計算區域設計洪水計算成果

表2 多元copu la分布函數下不同計算區域設計洪水計算成果

表1和表2分別為不同分布函數進行的區域設計洪水頻率分析結果，從表中可以看出，采用多元copula分布函數計算的設計洪水頻率結果總體上要小于采用單要素分布函數計算的不同區域設計洪水成果，這主要因為單要素分布函數主要采用單一參數進行設計洪水頻率分析，而多元copula分布函數可結合數據特征點進行設計洪水頻率分析，計算結果總體要小于單要素分布函數的設計洪水頻率結果。圖2為不同分布函數在不同參數下的頻率分布曲線對比，從圖中可以看出，隨著參數值的加大，不同分布函數下的設計洪水頻率曲線越接近。這主要是因為隨著參數值的加大，多元copula分布函數方程越來越接近單要素分布函數方程。

2.4 設計洪水頻率合理性檢查

在不同分布函數設計洪水頻率分析的基礎上，結合各設計區域的面積和設計洪水頻率分析成果，繪制不同頻率下各設計洪水成果和區域面積的次方關系圖，對采用多元copula分布函數的設計洪水成果進行合理性檢查。具體分析結果見圖3。

圖2 不同分布函數在不同參數下的頻率分布曲線對比

圖3 多元copu la函數分布下區域設計洪水頻率合理性檢查結果

圖3 為采用多元copula分布函數進行區域洪水頻率分析合理性檢查結果，從圖中可以看出，不同頻率下各設計洪峰成果和區域面積的關系基本呈現一條直線，本文選取的10個區域為上、下游關系，從圖中可以看出采用多元copula分布函數進行區域設計洪水成果和區域面積之間的關系符合區域設計洪水上、下游設計洪峰隨面積變化的規律，因此多元copula分布函數在區域設計洪水成果偏差較小，較為合理。

3 結論

本文采用多元copula分布函數對遼寧小流域設計洪水進行頻率分析，研究取得以下結論。

（1）多元copula分布函數頻率曲線可用于區域小流域設計洪水頻率分析，適用性好于單要素分布頻率曲線；

（2）多元copula分布函數頻率曲線形狀受參數β影響明顯高于參數α，隨著α值加大，其低頻設計值增加，而β加大，其高頻設計值逐漸減小。

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1008-1305（2016）06-0066-05

2016-12-08

劉長君（1971年—），男，工程師。