差分方程應用于市場經濟中蛛網模型

陳明+張愛國+彭慧丹

摘 要：針對市場經濟中需求與供應關系而導致的價格與數量的振蕩現象，首先用圖形方法建立蛛網模型，并從圖像角度分析振蕩穩定條件。為從理論上得到穩定條件，引入差分方程并加以改進而建立數學模型，從而得到穩定條件。接著對模型進行分析，最后簡單介紹經濟不穩定時的干預措施。

關鍵詞：差分方程；蛛網模型；平衡點；穩定；市場經濟

中圖分類號：F224 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2017）07-0005-02

市場經濟中當期商品價格是由消費者的需求量而定，而下期商品數量是由生產者的供應量而定。需求關系與供應關系導致商品價格與數量必定產生振蕩現象。若振幅逐漸變小至平穩，則經濟穩定；反之若振幅逐漸變大至不可控制，則經濟紊亂。

一、蛛網模型

設第i個周期商品數量為xi，價格為yi，i=1，2，3…。這個周期是指商品的1個生產周期，例如對蘋果而言，其指的是種植周期。由于商品價格主要取決于商品數量，令yi=F（xi）為商品需求函數，圖1中所示下降曲線為需求曲線。由于下個周期的商品數量xi+1取決于上個周期價格yi，令xi+1=H（yi）或yi=G（xi+1）為供應函數，這里G為H的反函數。圖2中所示上升曲線為供應曲線。在圖1中，需求曲線與供應曲線交于P0（x0，y0）點，稱該點為平衡點，即數量與價格一直維持在該點不變。但實際并非如此，當商品數量變化到x1后，價格y1由函數F決定，繼而產生點p1（x1，y1），以此類推，會產生系列點p2（x2，y2），p3（x3，y3），…。若按圖1所示方向趨近P0，表明P0為穩定平衡點，即市場經濟穩定。若其按圖2所示方向遠離P0，表明P0為不穩定平衡點，商品數量與價格振蕩越來越大，即市場經濟不穩定。圖1與圖2產生的形如蛛網的折線稱為蛛網模型。觀察圖1和圖2可知，在P0點當函數G斜率大于函數F斜率時，P0是穩定平衡點，反之即為非穩定平衡點。但是，這僅僅限于圖像上觀察，為了從理論上說明平衡點穩定條件，下面將差分方程應用到蛛網模型當中。

二、差分方程模型

在引入差分方程之前，先將供應函數做下改進，將決定商品數量xi+1前一周期的價格yi改為前兩個周期yi和yi-1，這樣可以體現生產者管理水平的提高，這里不妨取yi和yi-1平均值，即有Xi+1=H（yi/2+yi-1/2）。在P0附近用直線來近似曲線F和H，可將需求函數與供應函數近似為：

其特征根為λ1，2=（-mn±）/4。當mn>8時，方程有特征根位于單位圓外，所以此時P0點不穩定。當mn<8時，則有|λ1，2|=，為使得特征根位于單位圓內，必有mn<2，此時P0點穩定。綜上可知，P0點穩定的條件為mn<2。相比前面直接從圖形上觀察，利用差分方程模型可以得到數值上的結論。

三、模型分析

首先，m的大小反映了消費者對商品需求的敏感程度，假如其為生活必需品，稍有不足，消費者必搶購，則m值偏大。假如為非必需品，若稍有不足，消費者心態平和并無較強購買欲，則m值偏小。n的大小反映了生產者對商品價格的敏感程度，假如生產者追求短期利益，價格略增即加大生產，則n值較大；反之假如其有生產規劃，則n值較小。其次，當n固定，m越小，需求曲線越平滑，即消費者對商品需求不高，穩定條件越容易滿足，則經濟形式越穩固。當m固定，n越小，生產曲線越平滑，即生產者對商品價格不敏感，穩定條件也越容易滿足，則經濟形式越穩固。但當m、n都較大時，即生產者與消費者分別對價格與需求都很敏感，則穩定條件不易滿足，經濟不穩定。

四、經濟不穩定時的干預措施

方法一，m值盡量小，不妨令m=0，則mn=0<2恒成立，這種方法實際上相當于抑制物價，無論商品多少，不予改變。

方法二，n值盡量小，不妨令n=0，則mn=0<2恒成立，這種方法實際上相當于保持市場商品供應平穩，商品過多，予以回購；商品短缺，予以調撥。

參考文獻：

[1] 趙靜，但琦.數學建模與數學實驗[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 埃萊迪.差分方程導論[M].北京：世界圖書出版社，2013.

[3] 劉喜梅.經濟數學[M].北京：中國鐵道出版社，2008.

[4] 錢和平，徐清舟.數學建模融入經濟數學中案例及分析大學數學[J].大學數學，2012，（3）：92-96.

[責任編輯 吳高君]