復習課中培養初中生數學交流素養的四點認識

曾寶君+廉春雷

數學復習課的主要功能是梳理知識結構、查缺補漏、總結概括主干方法、串聯規律形成經驗等。在復習課的教學活動中，教師應先借助精準設問，有序引導學生梳理知識結構，促進學生深入交流數學認識；然后展示知識生長過程，引領學生有效串聯主干知識與學習經驗，創造情境讓學生領悟模型變式的內在規律以凸顯數學交流的核心價值，從而培養學生的數學交流素養。

“培養初中生數學交流素養的方法研究”課題組針對《相似三角形復習》一課（教師B、教師G分別主講），設計了四個話題，并進行分組研討和總結交流：①在知識結構梳理階段，如何引導學生通過交流形成對核心知識與技能的整體認識？②在查缺補漏加深對核心知識與技能的掌握階段，如何有效組織學生通過討論來發現、糾正可能對概念（性質）造成的誤解？③在例題學習中，教師如何通過學生的交流分析出他們的數學思維并把學生的交流經驗進行串聯，引導學生反芻解題方法？④在幫助學生將解題經驗串聯與拓展階段，怎樣引導學生進行自我評價，以及學習和評價他人的解題方法與策略？

教師B和教師G雖然各自獨立設計，但兩份教學設計的理念與做法有不少地方是“英雄所見略同”的。例如：都注重復習課上知識點的梳理，都利用思維導圖引導學生形成知識網絡；都采用階梯式設問分解探究性問題的難度；都利用小組合作方式，組織學生討論問題、回答問題、展示結果。對照數學交流素養結構（圖1），可以發現：采用階梯式設問便于學生有序“接收數學信息”，利用思維導圖有利于學生概覽“加工數學信息”，通過小組合作搭建交流平臺，有利于學生“表達數學看法”和“研討探索數學觀點”。下面以這兩節課為例，著重探討教師在組織學生開展交流活動中的重要作用。

一、精準設問才能有序引導學生梳理知識結構

復習課的核心功能之一是“理”。對相似三角形全章的知識、技能、方法和學習經驗進行系統梳理、分類和整合，在疏通來龍去脈、厘清內在聯系的同時，通過查缺補漏，才能形成對核心知識與技能的整體認識。在該階段，教師只有精準把握數學問題的廣度和深度，才能引導學生有序思考，提高表達與交流的針對性和有效性。

案例1 復習導入環節的設計。

教師B的設計：請回顧三角形相似的基礎模型“A型”的分類方法，在下面圖形中畫出“A型”相似的所有示意圖。

教師B給每位學生發放了學案，學案上呈現上述五個三角形；同時，教師B在黑板上也同樣事先畫好這五個三角形。

教師B的學生作答：學生在黑板上板演結果如圖2-1-1至圖2-5-1。

教師G的設計：如圖，在△ABC中，∠C>∠B，D是邊AC上一點，在AB邊上畫出一點E，連接DE，使以A、D、E三點為頂點的三角形與△ABC相似。

教師G給每位學生發放了學案，學案上呈現的是圖3；同時，教師G在黑板上也同樣事先畫好圖3。

教師G的學生作答：學生在黑板上的同一個圖中的板演結果如圖3-1所示。

學生作答診斷：教師B的學生畫出5種圖形，其中圖2-4-1是圖2-3-1的特例，而圖2-2-1與圖2-5-1的畫法則是錯誤的。由于教師給出了5個圖形，學生潛意識地認為應該有5種情況，所以盡量把想到的情況都畫上去；特別是題目條件中并沒有說明邊AB、AC的大小關系，因此，學生就生硬地套用分類思想，畫出圖2-2-1與圖2-5-1。教師組織學生相互點評作答情況時，學生因對問題的理解不一致，導致交流效果不理想。

教師G在設計問題時添加了“∠C>∠B，D是邊AC上一點”的條件限制，因此學生在同一個圖形上畫出了三種情況，其中E2是錯誤的。教師組織學生相互點評作答情況時，學生通過交流很容易排除點E2不符合要求。

改進建議：本環節的設計目的均是采用開放性問題引出“A”型相似的基本構圖。教師B只需要在條件中添加“如圖”（適當縮小問題廣度，強調AB>AC），然后將“圖2-2”至“圖2-5”標注為“備用圖1”至“備用圖4”（適當明確問題寬度），并提醒學生根據需要選擇備用圖的使用個數。這樣修改后，既可以開放性地檢查學生的思維狀況，又可以較快地進行思維歸類，還有利于后續將“A型平行相似”和“A型斜交相似”做更多相似變式。關于教師G，建議在黑板上畫出2～3個備用圖，為后續圖形變式做好準備（適當調整問題的延展性）。

由此可見，師生交流、學生間的交流可以順暢高效進行的關鍵之一，是教師設計的問題是否精準合理。設問適當，不僅可以引導學生順利展開思考，還可以使學習主線更突出，特別是可以讓課堂寶貴的時間用于解決更重要的問題。

二、直觀感知和邏輯推理并用才能促進數學認識的深入交流

復習課承擔著“查缺補漏”的重要責任，當學生作答錯誤時，引導學生通過自我反思、交流、同伴互助等方式認識錯誤原因、糾正錯誤，這往往比教師點評印象更深刻。幾何復習時，教師還需要引導學生注意圖形直觀感知、幾何邏輯推理的相結合，綜合剖析思維上的困惑或誤區，并加以更正。

案例2 圖2-2-1的錯誤溯源。

教師B、教師G的課堂上，學生作答都出現了點D位于平行線下方的情況。兩位教師主要采用直觀觀察的方式引導學生觀察圖形， 判斷圖2-2-1中∠AED>∠ADE，∠AED>∠C，而∠C>∠B，在這樣的情況下，不可能出現“錯位對應”。

但是，這里“通過觀察得到的∠AED>∠ADE”是基礎的結論，還是讓學生有這樣的困惑：是否只能如圖2-3-1一樣過E點“往上偏”，而不能如圖2-2-1一樣“向下偏”呢？這一直觀思維還需要邏輯推理來證實。

可以充分借助學生的正確答案圖2-1-1來證明圖2-2-1是錯誤的。

如圖2-2-1-1，假設 △ADE∽ACB。過點E作ED1∥BC交AD于D1，顯然∠1=∠B。

∵ ∠1是△D1DE的一個外角，

∴ ∠1>∠2；

∵ △ADE∽ACB，

∴ ∠2=∠C；

∵ ∠1=∠B，∠1>∠2，∠2=∠C；

∴ ∠B>∠C。

這與已知∠C>∠B相矛盾，故假設不成立，即此時點D不符合要求。

通過上述邏輯論證，結合直觀觀察，只有過E點“向上偏”，才能產生大于∠1的角，從而得到圖2-3-1。這樣，教師通過適當引導，讓學生在對他人觀點和自己觀點進行評價反思的基礎上，進一步拓展、延伸對數學現象的本質認識，從而使數學交流更加深刻。

三、展示知識生長過程才能引領學生有效串聯主干知識與學習經驗

復習課不僅要查缺補漏、展現知識結構，更要體現知識的生長過程，這樣才能讓學生在知識系統中有機構建思維通道，掌握問題生成、發展和解決的一般方法。

三角形相似的復習課堂上，兩位教師在總結歸納了“A”型相似模型后，隨后均出示了“X”型相似的基礎模型，再用例題引出“M”型相似模型。這種設計雖然將相似三角形的基本圖形變式進行了歸納，但對揭示基本圖形變式之間內在關聯的強調不夠，學生對這些圖形的認識難免停留在零散層面，不利于學生運用聯系、動態的觀點整體認識相似三角形，靈活轉換、加工各種有效信息。

圖4展示的是三角形相似基礎圖形變式的思維導圖。由“A”型相似的平行相似、斜交相似，演變為“X”型相似的平行相似、斜交相似，再由“X”型相似的平行相似分離公共頂點變形為“M” 型相似的三等銳角、三直角、三等鈍角模型，若能采用幾何畫板動態演示這些基礎圖形的變式過程，則可以進一步加深學生對基本圖形變式之間內在關聯的理解與掌握，完善相似三角形判定方法的知識網絡結構。

四、領悟模型變式的內在規律才能凸顯數學交流的核心價值

復習課還有一個重要價值，就是對已學過的知識進行綜合研究，不僅要順利地把相似三角形的相關知識串聯起來形成知識網絡圖，還要善于根據具體問題及時提取三角形相似的相應模型解決問題，特別是從陌生情境中準確識別三角形相似的基礎模型。這種能力的培養和形成，既需要平日學習經驗的積累，更需要復習課上師生之間、學生之間交流活動的集中領悟。

案例3 由“M”型相似模型到“一線三等角”模型。

在圖4中，由“X”型相似變形為“M”型相似，教師需要引導學生在仔細觀察的基礎上通過討論交流，歸納出：這類圖形在保持三角形相似性不變的變換過程中還有哪些數量關系保持不變？學生通過相互糾錯、交流反思、總結提煉，可以發現“M”型相似模型中，相似三角形位于一條直線的同側，且相似三角形中頂點在同一條直線上的等角所對的邊夾角也等于等角。因此，這種模型可以稱為“一線三等角”模型。

由“M”型相似模型變形為外“M”型相似模型，教師同樣需要讓學生在獨立觀察的基礎上研究，在保持三角形相似性不變的變換過程中還有哪些數量關系保持不變？外“M”型相似模型是否可以由三直角變形為三等銳角、三等鈍角？學生通過獨立作圖摸索、同伴交流、概括提煉后，可以得出外“M”型相似模型中，相似三角形位于一條直線的兩側，且相似三角形中頂點在同一條直線上的等角所對的邊夾角也等于等角。因此，這種模型同樣也可以稱為“一線三等角”模型。

經過這樣的探索與交流、復習與總結之后，學生才能深刻認識模型變式中的不變特征，準確理解相似三角形的“M”型、外“M”型的模型特征。