數學模型在“種群數量的變化”一節中的應用*

譚　鵑霍　靜

（1西南大學附屬中學　重慶　400700　2西南大學生命科學學院　重慶　400715）

“模型”是指反應原型本質屬性的物質形式或思維形式的類似物，是在特定的科學研究目的和假設條件下進行，能夠重新反映原型的結構、功能和過程等［1］。其中，用于表達生命活動規律的計算公式、函數式、曲線圖，以及由實驗數據繪制成的柱形圖、餅狀圖等稱之為數學模型，屬于學科交叉的通用概念［2］。構建數學模型的基礎是數學方法，對于學生來說具有一定的難度。其構建過程不僅需要學生掌握其一般步驟，還需要學生能夠領悟并歸納出其規律［3］。

本文以數學模型構建方法為指導，以“種群數量的變化”一節的教學設計為例，論述在教學中如何引導學生構建數學模型解決問題的具體方法。為數學模型在中學生物學教學中的應用提供參考案例。

1　“數學模型”教學案例展示

教師展示一幅實驗室培養的大腸桿菌所形成的菌落圖，通過提問：“從生命系統的結構層次上講，培養皿中的大腸桿菌菌落應該屬于哪一個層次？”（學生：屬于種群）。引導學生參與到研究該種群數量變化的情境中。

大腸桿菌通過二分裂繁殖，每20 min繁殖一代，現以一個“大腸桿菌的種群”作為大家的研究對象。

1.1提出問題用什么辦法可以描述大腸桿菌種群隨著時間的增加數量發生變化的情況？（學生根據已有的數學知識，可能會想到計數、曲線圖、公式等方法，但具體怎樣操作學生并不知道）。進一步引導學生思考：

①首先，可以用最簡單的方法，先從眾多的大腸桿菌種群中，觀察1個大腸桿菌，隨著時間的增加計數大腸桿菌數量的變化情況。

②怎樣才能規范而又準確地記錄對應時間下大腸桿菌的種群數目？（學生會想到列表）

③如何設計表格？（學生會想到至少包含時間、分裂代數、種群數量等項目，設計并完成表1）

表1　1個大腸桿菌產生的后代在不同時間的數量

1.2作出假設學生完成表1后，教師抓住時機，引導學生作出假設：在營養和生存空間沒有限制的情況下，1個大腸桿菌每20 min分裂繁殖一代，在分裂第t次后會繁殖出多少大腸桿菌？

1.3構建模型學生利用數學遞推法寫出分裂t次后細菌數目Nt的計算公式，即Nt=2t。在此基礎上提出數學模型的概念，即用于描述一個系統或它的性質的數學形式叫做數學模型，例如用于反映大腸桿菌數目變化的公式，就屬于數學模型。

1.4修正模型一般情況下，初次建立的數學模型可能無法準確反映原型的本質屬性和規律，需要對模型進行檢驗和修正。例如可以這樣引導學生對模型進行修正：

①在公式Nt=2t中，“2”代表什么意思？（學生回答：代表大腸桿菌本次分裂產生的個數是上一次的2倍，即增長倍數）。

②如果某種群數量的增長倍數不是2倍，用什么表示？（學生會想到不是所有種群數量都按2倍增長，可以引入一個參數如λ表示增長倍數）。

③在構建模型Nt=2t時，學生作的假設是細菌的初始數目是1個，但是實際狀況中細菌的起始數目肯定不止1個，如何修正該模型？（可以假設起始數目為N0）

1.5總結歸納構建數學模型的一般步驟通過以上問題的討論，學生已經對構建的模型進行了修正，即可以用Nt=N0λt表示理想狀態下種群數量的變化。此時，師生可共同及時歸納總結構建數學模型的一般方法：①觀察研究對象，提出問題；②提出合理的假設；③用適當的數學形式對事物的性質進行表達；④對模型進行檢驗或修正。

需要特別指出的是，對于同一個系統或者研究對象而言，只要能夠反映原型本質屬性或基本規律的模型，都可以用于對研究對象進行描述。例如也可用曲線圖反映細菌數目變化的規律。讓學生畫出大腸桿菌的數量增長曲線，如圖1所示：

圖1　大腸桿菌種群的增長曲線

教師進一步引導學生比較公式和曲線圖2種數學形式各自的優點，使學生學會根據實際需求構建適當形式的模型。

1.6模型應用在學生對數學模型有了感性和理性認識之后，進一步用數學模型思想解決具體問題：1959年，一位英國人帶了N0只野兔到澳大利亞，如果在食物和空間充裕、氣候適宜、沒有敵害等條件下，野兔的數量每年以一定的倍數增長，第2年是第1年的λ倍，t年之后野兔的數量是多少？

通過分析，學生構建理想狀態下野兔種群增長的數學模型Nt=N0λt。此時，教師可引導學生對公式中各參數的意義、λ的范圍等問題進行分析。

追問：是否還有類似于野兔種群增長的這種實例？引出環頸雉的種群數量增長曲線，并總結種群增長的“J”型曲線。

1.7模型拓展師生討論種群的“J”型增長數學模型的條件、特點之后，引導學生進一步思考：

①自然狀態與理想狀態的差異及對種群產生的影響；

②修正“J”型曲線，嘗試構建自然狀態下種群數量增長的曲線模型。

通過這2個問題，引出高斯“大草履蟲種群增長”的實驗，并完成種群增長的“S”型曲線及其相關問題的學習。

在學生完成了種群增長的2種模型之后，引導學生解決例如滅鼠、魚類捕撈等種群增長相關的實際問題。

2　教學反思

《高中生物課程標準》關于“種群數量增長”部分的具體內容標準是“通過探究培養液中酵母種群數量的動態變化，嘗試建立數學模型解釋種群的數量變動”。顯然，引導學生用數學方法解釋生命現象，揭示生命活動規律是構建數學模型的著眼點，避免離開生物學討論數學的傾向。本教學案例展示的具體構建數學模型的過程，就是從具體的生物現象或規律出發，建立抽象的數學模型，又將抽象的數學模型應用于新的問題和情境中，對具體的生物學現象或規律作出解釋，并且在應用中拓展和完善模型。

除本節討論的教學案例外，在中學生物學教學中涉及到的數學模型還有很多。例如，有絲分裂和減數分裂過程中染色體、染色單體及DNA數量的變化規律；酶的活性變化曲線；微生物生長曲線；種群密度計算公式、組成細胞的化學元素餅狀圖、能量金字塔；呼吸過程中隨氧氣的濃度增加ATP、CO2的變化曲線；光合作用中隨光照強度、溫度、CO2等條件的變化光合作用強度的變化曲線等。在教學過程中，教師可選擇一些數學模型讓學生構建。

實踐表明通過構建系列數學模型，學生不僅掌握了構建數學模型的方法，還體驗由具體到抽象的思維轉化過程，學會從現象中揭示本質和規律，用嚴密的思維分析問題、解決問題［4］。

［1］譚永平.高中生物學新課程中的模型、模型方法及模型建構.生物學教學，2009,34(1)：10.

［2］美國科學促進協會.面向全體美國人的科學.中國教學技術協會，譯.北京：科學普及出版社，2001.

［3］周雪峰.生物學教學中模型構建及應用.生物學教學,2010,35(2)：31.

［4］薛進.模型構建方法在生物教學中應用例析.佳木斯教育學院學報,2012（11）：121.