電氣化鐵路鋼軌感抗的精確計算公式

朱　峰，李　鑫，李朋真，李嘉成，邢學彬

(1.西南交通大學 電氣工程學院；四川 成都　610031；2.長春軌道客車股份有限公司；吉林 長春　130062)

鋼軌是電氣化鐵路牽引供電網系統中的重要組成部分[1-2]，除了作為高速動車組的走行軌外，還兼做牽引供電網的回流導體[3]。高速動車組與普速列車相比，動車組的牽引回流大。且高速動車組中有大量的電子設備，如速度傳感器、溫度傳感器、列車自動保護系統(Automatic Trian Protection，ATP)、綜合專用數字移動通信系統(Global System for Mobile Communications-Railway，GSM-R)等。這些電子設備的保護接地都是通過車體連接到鋼軌上，當車體的接地布局不合理時，易引起大電流上車，造成不同程度的地電位不平衡問題，使車體與鋼軌之間產生較大的電勢差[4-7]。不同系列的CRH型動車組其接地方式也不同[8-9]，這也將出現各種電磁兼容問題，如CRH380BL型動車組降弓時因TCU型速度傳感器受到電磁干擾，導致車門不能正常閉合[10]；CRH380CL型動車組停靠在車站內時由于BCU型速度傳感器受到電磁干擾，導致車門無法打開。此外，鋼軌作為軌道電路的載體，在研究軌道電路傳輸特性[11]時，需要得知鋼軌感抗在不同電流頻率和電流幅值下的數值。綜上所述，精確計算鋼軌感抗的數值對于高速動車組的安全運行具有重要意義。

總結前人的研究成果[8]可發現，由于分析車體接地電位不平衡時忽略了鋼軌感抗的影響而只考慮鋼軌的電阻，因此不能精確分析車體接地的電位不平衡問題。目前，國外一般是通過試驗測量的方法得到鋼軌感抗參數[12-16]；我國學者曹建猷院士給出了鋼軌阻抗的經驗公式[17]，文獻[18—19]給出了鋼軌阻抗的測量參數。但是這些研究都沒有給出具體的理論分析，缺少從物理層面對鋼軌阻抗進行分析。鋼軌感抗作為鋼軌阻抗的一部分，只有在精確確定鋼軌感抗的基礎上才能確定鋼軌阻抗。

本文從集膚效應和電流與鋼軌內磁通的交鏈機理出發，通過建立鋼軌等效模型，推導鋼軌感抗的精確計算公式。該研究不僅從理論上闡明了鋼軌感抗的機理，同時對于電氣化鐵路的工程實踐具有指導意義。

1　鋼軌等效模型

在物理電磁學中，電流與磁通的交鏈稱為磁通鏈，又稱磁鏈。其中磁通分為內磁通和外磁通，穿過導體橫截面的磁通稱為內磁通，穿過導體外部的磁通稱為外磁通。

長直通載流導體中電流與內磁通的交鏈如圖1所示。圖中：I為通過載流導體的電流；l為載流導體的長度；R為載流導體的半徑；r為磁場路徑包圍的圓的半徑；I′為半徑r處磁場路徑所包圍的電流；Bi為半徑r處的磁通密度；dr為半徑r上的微元寬度。

圖1　長直通載流體內電流與內磁通的交鏈示意圖

利用安培環路定理得出半徑r處的磁通密度Bi為

(1)

其中，

式中：μ為導體磁導率；π為圓周率。

圖1中電流I形成的回路構成電流環，而在長度為l、寬度為dr的矩形面上內磁通微元也為環形，兩環相交構成交鏈，則內磁通與電流的交鏈為

(2)

則載流導體的感抗Xi為

(3)

式中：f為電流頻率。

得出式(3)的前提為電流密度在載流導體中是均勻分布的，并沒有考慮集膚效應的影響；但實際情況是，由于集膚效應的存在，通過鋼軌的電流密度并不均勻分布，而是從鋼軌表面到鋼軌內部成指數形式衰減。故不能直接使用式(3)計算鋼軌的感抗。

通過有限元法仿真分析不同電流幅值和頻率下鋼軌內部的電流密度分布，如圖2—圖5所示。

圖2頻率均為1 Hz的不同幅值電流通過鋼軌時的電流密度分布

圖3頻率均為10 Hz的不同幅值電流通過鋼軌時的電流密度分布

圖4頻率均為50 Hz的不同幅值電流通過鋼軌時的電流密度分布

圖5頻率均為100 Hz的不同幅值電流通過鋼軌時的電流密度分布

由圖2—圖5可見：由于集膚效應的存在，鋼軌內大部分工頻及工頻以上的電流都分布在鋼軌表面，即鋼軌中的電流只分布在其截面邊緣，且在同一頻率下，鋼軌內電流幅值為1 000 A的集膚效應比電流幅值為100 A更明顯，這將導致鋼軌內通過1 000 A的電流時其感抗數值將大于通有100 A電流的鋼軌感抗。因此計算分析工頻以上電流的鋼軌感抗時需要采用圓柱載流導體等效模型，并且必須考慮集膚效應對電流密度的影響。

鋼軌集膚深度d為

(4)

式中：μr為鋼軌的相對磁導率；μ0為真空磁導率；γ為鋼軌的電導率。

按照上述有限元仿真分析知，鋼軌內部工頻及工頻以上的電流會由于集膚效應而集中分布在鋼軌表面。因此可以將鋼軌等效為電流密度成指數衰減的圓柱形載流導體，研究鋼軌感抗，其等效模型如圖6所示。圖中：J0為鋼軌表面電流密度；J(r)為等效鋼軌半徑r處電流密度。

等效模型的等效半徑Re為

(5)

式中：L為鋼軌橫截面的周長。

2　鋼軌感抗精確計算公式

如圖6(b)所示，鋼軌在通過交流電的情況下，由于集膚效應，電流主要在鋼軌表面及其集膚深度不超過d的范圍內流動，在集膚深度d以外的鋼軌其他處的電流按指數衰減得只剩30%?？紤]集膚效應的影響，鋼軌內半徑r處的電流密度J(r)為

(6)

式中：J0為鋼軌表面電流密度。

圖6　鋼軌等效模型圖

式(6)可以很好地反映出集膚因子對鋼軌感抗特性的影響。

通過鋼軌內的總電流為

(7)

半徑r處磁力線所包圍的電流為

(8)

電流I所產生的磁場與電流本身的交鏈為

(9)

鋼軌的內自感為

(10)

鋼軌的感抗為

(11)

3　計算結果與仿真分析

3.1　鋼軌感抗與電流幅值的關系

以60 kg·m-1鋼軌為計算對象，取鋼軌的長度l=1 m，橫截面的周長L=685 mm，等效半徑R=109 mm，電導率γ=4.762 MS·m-1。

因為不同電流下鋼性材料的磁導率也在變化，所以鋼軌的感抗在不同電流下呈現不一樣的大小。根據文獻[20]給出的鋼軌相對磁導率μr與磁場強度H(H=I/L)間的函數曲線關系，可以得出不同電流I下的參數μr，在此基礎上由式(11)計算出工頻情況(50 Hz)下通過不同幅值電流時的鋼軌感抗，并通過感抗與內自感的關系(Xi=2πfLi)將文獻[21]給出的內自感實測值換算成工頻下的感抗值進行對比，結果見表1。

從表1可以看出：由式(11)計算得到的鋼軌感抗與文獻[21]中實測值的誤差不超過10%。

工頻情況下通過不同電流幅值時鋼軌感抗的變化曲線如圖7所示。從圖7可以看出：鋼軌感抗將隨著電流幅值的增加先快速增大，而后緩慢減小，即不同幅值的工頻電流通過鋼軌時其感抗也不同。如長編組的高速動車組滿負荷運行時通過鋼軌的電流可達800 A，此時μr為480，鋼軌感抗約為0.204 mΩ·m-1；若動車組?？吭谡緝葧r，通過鋼軌的電流不足30 A，此時μr為100，鋼軌感抗約為0.092 mΩ·m-1。

表1　工頻情況下不同電流幅值對應的鋼軌感抗

圖7工頻情況下通過不同電流幅值時鋼軌感抗的變化曲線

精確計算動車組不同工作狀態下的鋼軌感抗可為脈沖瞬態干擾對地電位的影響提供分析。

3.2　鋼軌感抗與電流頻率的關系

43，50和60 kg·m-1這3種型號鋼軌橫截面的幾何參數見表2。

表2　不同型號鋼軌橫截面的幾何參數

幅值為100 A的電流通過長度均為1 m的不同型號鋼軌時，鋼軌內自感與電流頻率的關系如圖8所示。

從圖8可以看出：在電流頻率約為200 Hz以上時，鋼軌內自感趨于常數，表明此時集膚深度很小，電流基本在鋼軌表面流動，鋼軌內磁通接近最?。欢娏黝l率在200 Hz以下時，由于集膚效應減弱，鋼軌內自感快速增大；不同型號鋼軌的內自感雖有不同，但區別不是很大，說明鋼軌的橫截面尺寸對其內自感影響不大。

圖8　不同型號鋼軌內自感與電流頻率的關系曲線

鋼軌感抗與電流頻率的關系如圖9所示。

圖9　不同型號鋼軌感抗與電流頻率的關系曲線

從圖9可以看出：鋼軌感抗隨著電流頻率的增大而增大，并且小尺寸的鋼軌在高頻電流通過時其感抗會更大。

4　結　論

(1)本文鋼軌感抗計算公式的計算結果與實測值的誤差不超過10%。

(2)鋼軌內部工頻及工頻以上的電流會由于集膚效應而集中分布在鋼軌表面。因此可以將鋼軌等效為電流密度成指數衰減的圓柱形載流導體，研究鋼軌感抗。

(3)鋼軌感抗隨著電流幅值的增加先快速增大，而后緩慢減小。對于60 kg·m-1鋼軌的軌道系統，長編組高速動車組滿負荷運行時，通過鋼軌的電流幅值可達800 A，若動車組?？空緝?，通過鋼軌電流幅值不足30 A，鋼軌感抗的變化范圍為0.092～0.204 mΩ·m-1?？蔀閯榆嚱M不同工作狀態下脈沖瞬態干擾對地電位的影響提供分析。

(4)隨著電流頻率的升高，鋼軌內自感逐漸減小而鋼軌感抗則增大，且鋼軌的橫截面尺寸越小其內自感和感抗就越大。

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