例談衛星的變軌問題

摘要：本文從中學物理的角度，通過實例解析人造衛星發射過程中的變軌運動，并給出變軌過程小結.

關鍵詞：人造衛星；軌道變化；運動

作者簡介：許文，1988年畢業于華中師范大學物理系，從事中學物理教學與物理競賽輔導工作近28年，擅長于高中物理教學與研究，主研2個省級教科研課題，發表260余篇教學論文及20個多媒體教學課件，參加過湖北省試驗教材的開發與編寫，為省級中學物理骨干教師舉行師資培訓工作，榮獲全國教改優秀教師稱號.

我國的天宮二號空間實驗室與神舟十一號載人飛船分別于2016年9月15日22時4分、10月17日7時30分發射升空.天宮二號入軌后先在離地面393km的圓軌道上運行，于10月19日凌晨與神舟十一號飛船在離地380km的圓軌道上順利實現交會對接，兩名航天員進駐天宮二號進行一系列的科學實驗.飛船與天宮交會對接相關的一些物理問題將成為高考關注的熱點.本文通過實例從中學物理的角度解析衛星變軌與軌道調整中的相關物理問題.

一、衛星的圓周運動

如圖1所示，設地球的質量為M、半徑為R、表面的重力加速度為g、距地心O點r（r≥R）處繞地球圓周運動的人造衛星質量為m、線速度大小為v、角速度大小為ω、周期為T.有G MmR2= mg；G Mmr2=mv2r=mω2r = m2πT2r，可得

v=GMr∝1r；ω=GMr3∝1r3；

T=4πr3GM∝r3.

二、衛星的變軌問題

衛星速度改變時，衛星將變軌運行.當衛星的速度突然增大時，衛星將會做離心運動，其周期變長，機械能增加，最終穩定在高軌道上圓周運動時的速度比在低軌道上小；當衛星速度減小時，衛星將做向心運動，其周期變短，機械能減少，最終穩定在低軌道上時的速度比在高軌道上大.

1同一運動平面內的變軌

例12016年9月15日，我國“天宮二號”空間實驗室飛船發射升空，由長征運載火箭將飛船送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，B點距離地面高度為h，地球的中心位于橢圓的一個焦點上.“天宮二號”飛行幾周后進行變軌，進入預定圓軌道，如圖2所示.已知“天宮二號”在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，萬有引力常量為G，地球半徑為R.則下列說法正確的是

A“天宮二號”在橢圓軌道B點的向心加速度大于在預定圓軌道B點的向心加速度

B“天宮二號”從A點開始沿橢圓軌道向B點運行的過程中，其機械能守恒

C“天宮二號”從A點開始沿橢圓軌道向B點運行的過程中，動能先減小后增大

D由題中給出的信息可以計算出地球的質量為M=4π2n2（R+h）3Gt2

解析在B點，由GMmr2=ma知，無論在哪個軌道上的B點，其向心加速度相同；“天宮二號”在橢圓軌道上運行時其機械能守恒；“天宮二號”從A點開始沿橢圓軌道向B點運行的過程中，動能一直減小；對“天宮二號”在預定圓軌道上運行，有GMm（R+h）2=m（R+h）4π2T2，而T=tn，故M=4π2n2（R+h）3Gt2.

答案BD

小結航天器在同一運動平面內變軌問題主要表現在對軌道高度進行調整，要注意幾點：

（1）航天器變軌時軌道半徑的變化，根據萬有引力和所需向心力的大小關系判斷；穩定在新軌道上的運行速度變化由v=GMr判斷；

（2）航天器在變軌運行時，若速度突然增大（發動機短時間內對其做正功）會做離心運動，軌道半徑增大，萬有引力做負功，其動能減小，但機械能變大；若速度突然減小（發動機短時間內對其做負功）會做向心運動，軌道半徑減小，萬有引力做正功，其動能增大，但機械能減小；在變軌過程中關閉發動機運行時其機械能守恒；

（3）航天器經過不同軌道相切的同一點時其加速度相等，但外軌道的速度大于內軌道的速度.

例2我國的國土范圍在東西方向上大致分布在東經70°到東經135°，所以我國發射的通信衛星一般定點在赤道上空36萬公里，東經100°附近.假設某顆通信衛星計劃定點在赤道上空東經104°的位置，經測量衛星剛進入軌道時位于赤道上空36萬公里，東經103°處，為了把它調整到東經104°處，可以短時間啟動衛星上的小型噴氣發動機調整衛星的高度，改變其周期，使其“漂移”到預定經度后，再短時間啟動發動機調整衛星的高度，實現定點.關于兩次調整高度的方向依次是

A向下、向上B向上、向下

C向上、向上D向下、向下

解析同步衛星運行在地球赤道上空一定高度處，且衛星的運行方向應與地球的自轉方向相同，即由西向東轉，故應向東調整.但調整衛星高度和速度與調整前相比應不變.我們從北極點上空俯視地球（如圖3所示），在同步軌道東經103°處應先將衛星向下調低軌道，使其角速度變大，讓衛星相對地球向東運動，再向上調高軌道，使其角速度減小，最終可使衛星到達地球同步軌道東經104°處相對地球靜止.

答案A

點評本題以同步衛星為背景，考查萬有引力定律在人造衛星上的應用，定性分析人造衛星運行的線速度、角速度、周期的變化問題.問題的求解要具有一定的空間想象能力，能夠轉換角度從“北極點”上空俯視地球，合理構建地球與衛星運動情景的示意圖.

2不同運動平面內的變軌

例3（2015全國卷Ⅱ）由于衛星的發射場不在赤道上，同步衛星發射后需要從轉移軌道經過調整再進入地球同步軌道.當衛星在轉移軌道上飛經赤道上空時，發動機點火，給衛星一附加速度，使衛星沿同步軌道運行.已知同步衛星的環繞速度約為31×103 m/s，某次發射衛星飛經赤道上空時的速度為155×103 m/s，此時衛星的高度與同步軌道的高度相同，轉移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖4所示，發動機給衛星的附加速度的方向和大小約為

A西偏北方向，19×103 m/sB東偏南方向，19×103 m/s

C西偏北方向，27×103 m/sD東偏南方向，27×103 m/s

解析試題給出的一平面示意圖，在理解題意后，我們可以畫出如圖5所示的立體示意圖，這有利于從全方位把握對問題的分析.衛星在轉移軌道與同步軌道相同高度處（即兩軌道的交點處），轉移軌道上的速度大小為v1=31×103 m/s，同步軌道上的速度大小為v2 =155×103 m/s.啟動衛星上發動機使衛星獲得一個附加速度Δv后，衛星的速度應由v1調整到v2 .如圖5所示，v1、v2、Δv應組成一個矢量三角形.由余弦定理Δv=v21+v22-2v1v2cos30°=19×103m/s，方向為東偏南方向.

答案B

感悟衛星在不同運動平面內的變軌問題，除了考慮衛星運行的線速度、角速度、周期隨軌道半徑的變化外，還要考慮在變軌瞬時速度的合成與分解.問題的求解需要考生有一定的理解與分析能力，具有一定的空間想象力，合理地將衛星運動的平面視圖轉化為立體視圖，靈活地運用所學的知識解決問題.

練習

1如圖6所示，“神舟十一號”與“天宮二號”在交會對接前“神舟十一號”飛船先在較低圓軌道1上運動，在適當位置經變軌與在圓軌道2上運動的“天宮二號”對接.M、Q兩點在軌道1上，P點在軌道2上，三點連線過地球球心，把飛船的加速過程簡化為只做一次短時加速.下列關于“神舟十一號”變軌過程的描述，正確的有

A“神舟十一號”在M點加速，可以在P點與“天宮二號”相遇

B“神舟十一號”在M點經一次加速，即可變軌到軌道2

C“神舟十一號”經變軌后速度大于變軌前的速度

D“神舟十一號”變軌后的運行周期大于變軌前的運行周期

2某人造地球衛星在半徑為r的軌道1上做圓周運動，動能為Ek，變軌到軌道2上后，動能比在軌道1上減小了ΔE，在軌道2上也做圓周運動，則軌道2的半徑為