半球諧振陀螺的拉格朗日力學建模方法
2017-04-08 21:06:49金鑫滿春濤
哈爾濱理工大學學報 2017年1期
金鑫 滿春濤
摘要：陀螺儀是慣性技術的核心元件，半球諧振陀螺已成為空間應用的首選之一。對半球諧振子進行詳細的動力學模型建立是研究其原理的基礎。將半球諧振子視為半球彈性薄殼，求取其彈性伸長量及角變從而求得彈性薄殼的彈性勢能，進而采用基于虛功原理和變分法的拉格朗日力學方法，求取彈性薄殼的動能，代入拉格朗日算子建立拉格朗日方程，得到系統整體的動力學模型。建模過程中通過廣義坐標的選取，使最終模型等效為質量塊在二維空間的簡諧振動的等效模型，從而簡化對半球諧振陀螺的分析。
關鍵詞：半球諧振陀螺；動力學建模；彈性薄殼；拉格朗日力學
中圖分類號：V249.32 文獻標志碼：A 文章編號：1007-2683（2017）01-0041-07
0 引言
作為慣性技術核心的慣性敏感元件，陀螺儀已經被應用于國防和民用的多個領域，包括導彈、飛機、潛艇制導，衛星姿態控制，石油、礦藏開采，海底電纜鋪設等眾多方面。半球諧振陀螺是固態振動陀螺中最典型的一種，因其諧振子為半球形而得名。半球諧振陀螺因其具有易小型化和抗沖擊能力強的特點而成為空間應用的首選慣性器件之一，而陀螺儀的精度是決定系統性能的主要因素，因此需要對陀螺儀進行詳細的建模和性能分析。本文主要研究半球諧振陀螺振動模態的動力學模型建立方法，為研究半球諧振子中受哥式力影響產生進動的原理打下良好的基礎。
從半球諧振陀螺問世至今，國內外學者對半球諧振陀螺建模進行了積極的研究，并發表了與之相關的大量文章。學者Michael Y.Shatalov研究了中空的各向同性球體在充滿非粘滯性介質時的陀螺效應，為求取系統的進動因子，首先假設外界轉動頻率遠小于系統最低的諧振頻率從而將慣性力忽略，然后采用復函數的方法得到進動因子。學者Michael Y.Shatalov又研究了質量不平衡球體慢速旋轉時駐波的進動角速率的影響因素，發現進動角速率不受阻尼的影響但受正交振型和外界輸入大小的影響，正交項的存在會出現駐波的捕獲效應，使得進動成周期性的變化而不是與外界輸入成比例。學者C.O.Chang對半球體波的進動情況采用攝動法進行建模，分析駐波諧振頻率及進動因子的影響因素，發現駐波的諧振頻率受離心力影響，而進動因子則不受影響。學者樊尚春采用Lord Rayleigh中面不擴張理論，研究了等厚度和變厚度的軸對稱殼體中駐波的進動情況，給出了振動模態的進動因子與諧振頻率的具體解析表達式。學者Jiayi Qi等研究了半球諧振陀螺的進動因子和諧振頻率并根據薄殼理論給出了表達式。這些研究成果的理論分析非常全面，對半球諧振陀螺的研究有很大的促進作用，不足之處主要是因建模采取古典力學理論而表達式都非常的復雜，沒有清晰的動力學模型建模方法。
本文在借鑒這些理論研究的成果上，依據薄殼振動理論，得出半球諧振陀螺的基本運動方程；基于虛功原理與變分法采用拉格朗日方程對半球諧振陀螺的諧振子進動情況進行了詳細地建模研究，得出了將半球諧振子復雜進動模型等效為廣義空間上一個質點二維簡諧振動的模型，使半球諧振陀螺的模型得到了簡化。
1 系統建模
1.1 半球諧振子建模假設
半球諧振陀螺的機理主要是利用諧振子的布萊恩效應，即當一個振蕩的軸對稱殼體繞其對稱中心軸旋轉時，環向振型不再相對殼體靜止，而是相對殼體成比例地進動。半球諧振陀螺結構如圖1所示。
為了得出理想狀態下諧振子的進動因子，并建立理想條件下的諧振子進動模型，首先假設外界轉動頻率遠小于諧振子的固有振動頻率，諧振子的轉動離心力可以忽略，離心力不影響諧振子的進動因子。并且假設石英的阻尼系數不加以考慮，因為阻尼系數亦不會影響諧振子的進動因子。諧振子的不完美，如質量不平衡，非等彈性等因素也先不加以考慮，其目的是為了首先得出理想條件下半球諧振陀螺的動力學模型，在此基礎上再分析各誤差項對半球諧振陀螺的影響。
對諧振子動力學的分析主要是建立在薄殼理論的基礎之上，由LOVE提出的薄殼理論最著名的幾點假設分別為：
1）殼體的厚度遠小于殼體的其他尺寸，比如中面半徑；
2）變形與位移足夠的小以至于變形量與位移量的二階和高階量相對于一階；
3）平行于中面的法向應力與其它應力相比，可以忽略不計，此假設可以稱之為殼層無擠壓假設；
4）變形前垂直于中面的直線在變形后仍然是直的，且與變形后的中面垂直，長度保持不變。
半球諧振陀螺工作時半球諧振子處于微幅振動狀態，其振動位移條件滿足以上4點假設，因此本文基于以上假設建立半球諧振陀螺的動力學模型。
1.2 半球諧振子球殼的基本方程
半球諧振子殼體中面如圖2所示，在半球殼體中，中曲面的兩個主曲率半徑都為r，曲率坐標系選取為緯度角φ和經度角θ作為參數。
基于薄殼理論，半球諧振子中面上的任何點可以用如下坐標表示：
r=r（φ，θ） （1）其中r是參數φ，θ的單值連續函數。依次給定θ一系列定值，同時連續改變φ，可以在曲面上得到一簇曲線；同樣依次給定φ一系列的定值同時變化φ就得到另外一簇曲線，則φ，θ為曲面的曲率坐標系。r對φ，θ的導數為rφ和rθ，在曲面的每一點上分別與φ，θ線相切。rφ和rθ的長度A，B稱為曲面的拉梅系數，一般為φ，θ的函數，它們表示曲面的幾何性質，球面坐標系下殼體的拉梅系數分別為
（2）
考慮球殼的變形，如圖3所示。
向量ds表示曲面上點P形變前與相變后之間的弧長增量：
（3）
由于曲率坐標系φ，θ為正交系，此線段的長度為
（4）
可得到沿φ坐標線和θ坐標線的弧長增量分別為
（5）
分別為與參變量dφ，dθ相對應的弧長增量。設半球殼中面在φ線，θ線和中面法線Z方向的位移分量分別為u，v，w，變形前殼中面的坐標向量為r，變形后的坐標向量為r'，如圖3所示，則r'可以表示為
（6）
由向量ds及其沿φ、θ切向弧長的表達式可以求得φ、θ切向及Z方向的3個單位向量e1，e2和en分別如下：
（7）
e1，e2和en為服從右手螺旋法則的正交坐標系，且en指向曲面突起的一側。由此可得r'的微商向量為
（8）
其中，
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
（23）
（24）
（25）
（26）
（27）
（28）
以上幾個方程確定了半球諧振陀螺的殼層上任意點在φ線及θ線方向上的伸長率及其角變。在實際計算中，可以將上述幾個式子的分母用泰勒級數展開，略去z的二階以上小量，得到化簡的式子為
（29）
（30）
（31）
式（30）、（31）即為半球諧振子殼層上任意點在φ線及θ線方向上的伸長率及其角變，代表了半球諧振子的基本運動，是后續求取彈性薄殼彈性勢能所必須的基本量，以上的推導過程是后續求取殼體系統動力學模型的基礎。
1.3 拉格朗日方程法建立殼體動力學模型
設諧振子中面面半徑為r，厚度為h，密度為p，θ，φ分別為經度角與緯度角，笛卡爾坐標系原點與球心重合，如圖1所示，則中面上一點可以表示為
（32）
3個標量方程在曲率坐標系下等價于向量方程式（1）。半球殼中面上任一點變形時的位移矢量可以表示為
△=ui+vj+uk （33）
中面上的點變形后的坐標向量為
r'=ui+vj+（r+w）k （34）
諧振子沿Z軸的轉動速率為Ω，其大小遠小于陀螺的固有諧振頻率。則對于質點p將Ω投影到i，j，k局部坐標系中為：
（35）
（36）
（37）
（38）
（39）
（40）
依據推導的半球諧振子基本方程，將半球殼曲面的線微原伸長率和曲率變化代入薄殼彈性勢能，沿殼層厚度積分，略去高階小量并進行化簡，可得到殼體的彈性勢能為
（41）
（42）
（43）
（44）
（45）
（46）
（47）
（48）
（49）
（50）
（51）
（52）
此式是半球諧振陀螺的二階模態振動方程，模態的幅值滿足一個二階線性并與外界輸入角速率有耦合項的微分方程。此方程表示的等價系統為一個質量塊在二維空間的簡諧振動方程，如圖4所示。
（C，S）可以定義為半球諧振子的廣義坐標，（C，S）表示二維空間中質量塊的廣義位移。質量塊m在二維空間中以一橢圓軌跡運動，其周期為T=2π/ω。在垂直于（C，S）平面的外界角速度Ω的激勵下，橢圓的長軸方位角以速率kΩ/2相對慣性空間產牛進動。
3 結論
本文基于彈性薄殼理論及拉格朗日方程方法，建立了半球諧振陀螺諧振子在振動模態的動力學方程，該方法以古典的彈性薄殼理論為基礎，推導出半球形薄殼的基本伸長率和角變，并結合拉格朗日力學，通過計算殼體的動能與勢能建立拉格朗日方程，得到諧振子整體的動力學方程，并且通過選取廣義坐標，使系統模型等效為質量塊在二維空間簡諧振動的模型，解決了以往的模型過于復雜且物理意義不明顯的問題。
（編輯：溫澤宇）
