數列問題的分析與研究

葉犇宇

摘要：數列問題，不僅對高中數學來說舉足輕重，是高考數學壓軸大題，更是進入大學后高等數學級數問題的基礎。數列問題，可以同時蘊含了遞歸、放縮、因式分解、數學歸納等數學思想方法，多種思想摻雜在一起，導致數列問題難度很大，同時解法百花齊放。通過3個例題，從易到難分別介紹函數與數列問題的求解、數學歸納法在數列中的應用、歐拉級數在數列中的應用，并對數列問題的解法進行總結，提出針對數列問題的想法。

關鍵詞：數列 歐拉級數 研究與應用

數列問題，可以和很多高中數學知識點交叉，如數列與函數、方程相結合問題，數列與不等式相結合問題、數列和極限相結合問題，等等。本文主要從三個方面入手：函數與數列問題、數學歸納法在數列中應用、歐拉級數在數列中的應用，分別給出一個例題，求解之后對這幾個方面的數列問題總結歸納，提出針對數列問題的想法。

一、函數與數列問題

對于高中數學來說，數列是高考的難點和重點，同時，函數問題也是高考躲不過逃不過的難題，對于函數與數列知識點交叉的問題來說，如何尋找有效的突破口，是解這類問題的關鍵所在。

思路分析：函數與數列知識點交叉的問題，通常會給出函數的表達式，大部分此類題型都會已知函數與數列元素間關系，某些不給出具體關系，但通過簡單的代入遞推也可以求出關系，如上題。函數只是一個工具，它的作用就是求出數組元素間的關系（一般是an-1與an之間的關系），再通過求出的數列元素間的關系，求出題目問題所需要求的數列表達式。

三、數學歸納法在數列中的應用

數學歸納法，即通過對一些特例或簡單情形進行觀察與綜合以發現一般規律的一種科學思維方法，數學歸納法體現了數學的創造與再創造過程。數學研究過程中，常常需要先對問題先進行假設，再根據假設進行合理的數學推導，把特殊情況推廣至一般情況。所以，數學歸納法在數學研究過程中，占有極大的地位，是其最重要的基本方法之一。對于某些特定的數列問題，可以使用數學歸納法快速的得到答案。

三、歐拉級數在數列中的應用

四、總結

數列問題，千奇百變，但萬變不離其宗，歸根結底可以分為這么三類，一是求數列的表達式，二是數列的求和，三是數列與不等式的證明。對于這三類問題，可以有許多方法去求解，文中提到的函數代入、數學歸納法和歐拉常數法只是眾多解法的冰山一角，平時養成良好的數學思維，多總結解題思路和方法才能做到百戰不殆。

參考文獻：

[1]孟祖國.高中數列的有效教學研究[D].華中師范大學，2011.

[2]黃其宣.無窮級數求和方法研究[J].企業技術開發，2009，（09）：140-144.