重心插值配點法求解分數階Fredholm積分方程

虎曉燕, 韓惠麗

(寧夏大學 數學統計學院 寧夏 銀川 750021)

重心插值配點法求解分數階Fredholm積分方程

虎曉燕, 韓惠麗

(寧夏大學 數學統計學院 寧夏 銀川 750021)

重心插值配點法是插值法和配點法的結合和推廣，它具有穩定性好、高精度和計算效率高等優點.主要運用高精度無網格重心插值配點法求解分數階Fredholm積分方程. 首先推導了基于分數階Fredholm積分方程重心插值配點法的離散公式，然后通過理論分析得出其解的存在唯一性與誤差分析，最后利用數值算例通過對等距節點與第二類Chebyshev節點的對比，驗證了所用方法的高精度和可靠性，并得出影響精度的條件.

重心插值配點法； 高精度； 分數階積分方程； 無網格

0 引言

分數階微積分有著廣闊的應用領域和前景，如生物傳熱、粘彈性力學、圖像信號和風力發電等. 由于求分數階微積分方程的解析解存在諸多困難，所以重點研究它的數值解. 目前微積分方程的數值解法較多，如有限差分法[1]、有限元法[2]、小波方法[3]、拉格朗日乘子法[4]、變分迭代法[5]、同倫攝動法[6]等，也有與統計力學相結合的隨機行走方法[7]等. 上述方法較多研究整數階微積分方程，而分數階微積分方程更復雜，精確數值模擬分數階微積分方程的困難更大，現有文獻中研究分數階微積分方程數值解的理論較少，而且很少考慮計算精度或收斂速度等問題. 高精度無網格重心插值配點法是一種新型求解分數階積分方程的數值方法[8]，該方法相對其他數值方法而言應用前景廣闊，克服了一般插值方法的振蕩性和向前穩定性，具有計算精度高，不用劃分網格，程序容易實現等諸多優點.重心插值配點法多用于數值模擬積分微分方程和偏微分方程. 文獻[9]運用線性重心有理插值配置法求解了一階線性雙曲型初值邊值問題.文獻[10]運用兩種重心型插值求解了帶初值問題和邊值問題的二階線性微分方程，并將重心插值法與擬譜法以及微分求積法做了比較，得出重心插值法比其他數值方法精度更高.文獻[11]使用直接線性重心有理插值(DRQ)求解了線性Fredholm積分函數，用間接線性重心有理插值法(IRQ)求解了線性Volterra積分函數，并給出了誤差估計，從而說明了重心插值法的高效性.

與以往插值配點法不同，本文將運用重心插值配點法求解分數階Fredholm積分方程，從而推導出分數階Fredholm積分方程重心插值配點法的離散計算公式. 通過證明解的存在唯一性、誤差估計以及數值算例驗證本文方法的高精度和可靠性.

1 重心插值配點法

設xj(j=0,1,…,n+1)是函數f(x)的n+1個不同的插值節點，其對應的函數值為fj.如果要使用多項式插值，則可以在多項式空間中求插值多項式p(x)，使得p(xj)=fj,j=0,1,…,n，而多項式空間的次數不超過n.

定義1[12]重心Lagrange插值公式

(2)

由式(1)可知,分子和分母都包含重心權ωj,由式(2)可知,重心權只依賴于插值節點的分布，因此插值節點直接影響著重心權.本文主要采用等距節點和第二類Chebyshev節點來研究分數階積分方程的數值解.

2 分數階積分方程

定義2[13]設函數f(t)為定義在J0=(0,+)上分段連續，且在J=[0,+)的任意有限子區間上可積. 對?t>0、Reν>0的任意復變量ν，函數f(t)的ν階R-L分數階定義,其中：ν>0；Γ(·)為Gamma函數.

3 格式推導

本文主要探討如下形式的分數階Fredholm積分方程，

(3)

其中：f(x)為未知函數；g(x)∈C[a,b]為已知函數；K(x,t)為區間[a,b]×[a,b]上的、關于變量x,t的二元連續積分核函數.將積分方程的積分區間[a,b]離散為a=x0

(4)

(5)

令方程(5)在節點x0,x1,x2,…,xn上均成立，可得

(6)

(7)

將式(7)寫成矩陣形式為

(8)

其中:K=[Kij]:=[Kj(xi)]為未知函數f(x)在節點x0,x1,x2,…,xn的積分矩陣；I為n階單位矩陣；F=[f(x0),f(x1),f(x2),…,f(xn)]T為f(x)在插值點處函數值；G=[g(x0),g(x1),g(x2),…,g(xn)]T為自由項g(x)所對應的插值點處的函數值. 這樣式(8)就給出了積分方程(3)的重心插值配點法的離散計算公式.

由Gauss公式[14]，對給定的xi有

4 誤差分析

4.1 解的存在唯一性

引理1[15](Fredholm選擇定理)第二類Fredholm積分方程，要么對于所有函數f(x)都有解且解唯一，要么相應的齊次方程至少有一個非平凡解，即至少有一個不恒等于零的解.

引理2[16](壓縮映射原理)設(X,d)是完備的距離空間，T：X→X是壓縮映射.則T在X中存在唯一的不動點x0.

由引理1可知，本文所研究的方程必然有解. 在Banach空間中，設核K(x,t)在矩形區域D1=[a,b]×[a,b]上連續，自由項g(x)∈C[a,b]，下面利用壓縮映射原理(引理2)證明其解的唯一性.

證明 定義映射T為

則T:C[a,b]→C[a,b],由于x-t>0,從而(x-t)α-1>0,且對于任意的f1,f2∈C[a,b]，有

4.2 誤差估計

本文主要采用兩種范數誤差來刻畫數值解與精確解的逼近程度問題，其中L誤差定義為‖ek‖，L2誤差定義為.

下面主要運用L誤差研究本文方法的數值逼近問題.

(9)

若f(x)在[a,b]上存在n+1階導數，則對?x∈[a,b]，其重心插值有估計[17]

(10)

證畢.

5 數值算例

為了驗證本文方法的高精度和可靠性，對2個具有精確解的數值算例進行數值模擬.算例中均分別選取等距節點和第二類Chebyshev節點，并對這兩種節點下數值結果的L誤差、L2誤差和相對誤差做比較. 下述算例的程序均在Matlab7.0中實現.

算例1

當α=1，取g(x)=11x/(12-x2)時,該分數階方程退化為整數階積分方程，精確解為f(x)=x(1-x). 表1為本文方法當α=1，n=10，q=8時兩類節點和文獻[18]方法的L誤差、全局誤差和相對誤差對比，圖1為α=1，n=10，q=8時兩類節點誤差與數值解、精確解比較. 當α=5/2時，適當選取g(x)使算例1精確解為f(x)=x(1-x).表2為α=5/2,n=10，q取不同值時兩類節點的數值解、精確解、L誤差、L2誤差和相對誤差. 其中全局誤差定義為‖e‖2/n.

表1 算例1 本文方法當α=1，n=10，q=8時兩類節點和文獻[18]方法的L誤差、全局誤差和相對誤差對比

Tab.1 The L errors, global errors and relative errors with α=1，n=10，q=8 for the present method and the paper [18] of two knots for example 1

表1 算例1 本文方法當α=1，n=10，q=8時兩類節點和文獻[18]方法的L誤差、全局誤差和相對誤差對比

誤差本文方法等距節點(10節點)Chebyshev節點(10節點)文獻[18](64節點)L￥error1.387778780781446e-169.714451465470120e-173.113e-6全局誤差6.081955556155792e-184.335447487907081e-185.505e-7相對誤差1.053478278494604e-168.955261823477816e-17

圖1 算例1當α=1，n=10，q=8時兩類 節點的誤差與數值解精確解比較

由表1、表2和圖1可知，用重心插值配點法求解分數階Fredholm積分方程時,α增大，q增大時，其計算精度隨之增大. 當q由10變為100時，精度增加了3個數量級，當q由100變為500時，精度增加了2個數量級，這說明q影響數值解的計算精度為,q越大計算效果越好，但相應計算時間增大. 兩類節點所得數值解的計算精度都比較高，其中第二類Chebyshev節點比等距節點的計算精度更高. 當α=1時，算例1退化為整數階時，q取10時相對誤差達到10-16，與文獻[18]的方法相比，本文方法的計算精度更高.

算例2

當α=5/2時，選取適當的g(x)使算例2的精確解為f(x)=x3(1-x)ex. 具體計算中，分別取11個和21個插值節點，即分為n=10和n=20兩種情況，q取10. 由表3可以看出，Gauss積分點數量q相同時，n=20比n=10計算效果更好，等距節點比第二類Chebyshev節點更好.

表2 算例1當α=5/2時兩類節點的數值解、精確解、L誤差、L2誤差和相對誤差

Tab.2 The computed solution,the exact solution,L errors,L2 errors and relative error with α=5/2 of two knots for example 1

表2 算例1當α=5/2時兩類節點的數值解、精確解、L誤差、L2誤差和相對誤差

x取值等距節點精確解數值解q=10數值解q=100數值解q=500Chebyshev節點精確解數值解q=10數值解q=100數值解q=5000.10.090.0900000.0899990.0899990.0238720.0238720.0238720.0238720.20.160.1600000.1599990.1599950.0863720.0863720.0863720.0863720.30.210.2099970.2099990.2099570.1636270.1636270.1636270.1636270.40.240.2400020.2399990.2398060.2261270.2261290.2261270.2261270.50.250.2500080.2500000.2493850.2500000.2500070.2500000.2500000.60.240.2399860.2399990.2384510.2261270.2261380.2261270.2261270.70.210.2100040.2100000.2066780.1636270.1636350.1636270.1636270.80.160.1600090.1599990.1536870.0863720.0863750.0863720.0863720.90.090.0900020.0899990.0791030.0238720.0238730.0238720.0238721.00.000.0000000.000000-0.0173600.0000000.0000000.000000L￥誤差1.6427e-55.9319e-81.1255e-91.3723e-54.6133e-88.330e-10L2誤差2.9879e-61.5451e-84.5119e-105.1144e-61.6984e-83.054e-10相對誤差5.1755e-62.6764e-87.8153e-101.0564e-53.5083e-86.310e-10

表3 算例2當α=5/2時兩類節點的L誤差、L2誤差和相對誤差

Tab.3 The L errors, the L2 errors and the relative error with α=5/2 of two knots for example 2

表3 算例2當α=5/2時兩類節點的L誤差、L2誤差和相對誤差

誤差數值解(q=10,n=10)等距節點Chebyshev節點數值解(q=10,n=20)等距節點Chebyshev節點L￥誤差0.0010260.0010260.0010250.001026L2誤差2.546e-43.416e-42.234e-43.257e-4相對誤差6.242e-49.3661e-43.867e-46.314e-4

綜合上述2個算例可知，應用重心插值配點法求解分數階Fredholm積分方程時，可以得到很高的計算精度.計算精度隨著階數α的增大而增大，并且也受Gauss積分點數量q與插值節點個數n的影響. 當α=1，即積分方程由分數階退化為整數階，q與n取很小時就能得到很高的計算精度. 當α≠1，α越大，q越大，n越大時，分數階積分方程的計算精度越高. 同時也可知，對于分數階積分方程的精確解為基本初等函數時，第二類Chebyshev 節點比等距節點的精度更高，對于其精確解為更加復雜的函數時，等距節點比第二類Chebyshev 節點的精度更高一些.

6 小結

本文應用重心插值配點法求解了分數階第二類Fredholm積分方程，推導出了分數階Fredholm積分方程重心插值配點法的離散計算公式，證明了本文所討論方程的解的存在唯一性，得出了誤差估計，最后利用數值算例通過對比等距節點與第二類Chebyshev節點的數值結果，驗證了本文方法的高精度和可靠性，并得出影響精度的條件，也給出兩類節點的適用范圍. 本文利用重心插值配點法對分數階Fredholm積分方程進行了研究，得到了較好的結果.

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(責任編輯：方惠敏)

Barycentric Interpolation Collocation Method for Solving Fredholm Integral Equation of Fractional Order

HU Xiaoyan, HAN Huili

(SchoolofMathematicsandStatistics,NingxiaUniversity,Yinchuan750021,China)

Barycentric interpolation collocation method was the combination and promotion of interpolation method and the collocation method. It was a new kind of numerical calculation method which had excellent numerical stability, high precision,and computational efficiency. This new method was used to solve fractional order Fredholm integral equation, and was deduced discrete calculate formula of the barycentric interpolation collocation method of fractional order Fredholm integral equation. Through theoretical analysis, it derived its existence and uniqueness of solutions and error analysis. Finally,some numerical examples were used to contrast equidistant nodes and the second Chebyshev nodes to demonstrate the effectiveness and precision of this method, and then the conditions that affect the precision was obtained.

barycentric interpolation collocation method; high precision; fractional order integral equation； mesh free

2016-08-15

國家自然科學基金項目(11261041, 11261045).

虎曉燕(1989—)，女，寧夏固原人，碩士研究生，主要從事積分方程數值解的研究，E-mail：huxiaoyancai@163.com；通訊作者：韓惠麗(1972—)，女，寧夏銀川人，教授，主要從事積分方程數值解的研究，E-mail：nxhan@126.com.

O175.6

A

1671-6841(2017)01-0017-07

10.13705/j.issn.1671-6841.2016203