Euler方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)(k1≠k2)的正整數(shù)解

張四保， 官春梅， 席小忠

(1.喀什大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院 新疆 喀什 844008； 2.宜春學院 數(shù)學與計算機科學學院 江西 宜春 336000)

Euler方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)(k1≠k2)的正整數(shù)解

張四保1， 官春梅1， 席小忠2

(1.喀什大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院 新疆 喀什 844008； 2.宜春學院 數(shù)學與計算機科學學院 江西 宜春 336000)

討論了一個形如φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)(k1≠k2)的具體方程φ(xy)=5φ(x)+7φ(y)的可解性，給出了其一切整數(shù)解.并根據(jù)這一方程的解的情況，給出了(x,y)=(k1+k2,k1+k2)是方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)(k1≠k2)的1組整數(shù)解的結(jié)論，這里的k1，k2都是正整數(shù).

Euler函數(shù)； 可解性； 整數(shù)解

0 引言

方程整數(shù)解的研究是數(shù)論研究中的一個重要課題之一，其研究內(nèi)容與成果也很豐富[1-3]，令φ(n)為Euler函數(shù)是數(shù)論研究中的一個重要函數(shù).關(guān)于包含Euler函數(shù)φ(n)的方程的研究有著豐富的研究成果[4-9].對于形如

φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)，(k1，k2是正整數(shù))

(1)

的討論，大多文獻討論的都是當k1=k2的情況，即討論的是形如φ(xy)=k(φ(x)+φ(y))的方程.文獻[10]研究了當k為素數(shù)時，方程φ(xy)=k(φ(x)+φ(y))的正整數(shù)解，并給出了當k=3時其所對應方程的部分正整數(shù)解.文獻[11]研究了方程φ(xy)=3(φ(x)+φ(y))的可解性，并給出其全部的35組正整數(shù)解.文獻[12]研究了方程φ(xy)=7(φ(x)+φ(y))的可解性，并給出了其全部的15組正整數(shù)解.本文將討論形如方程(1)的具體方程的一切整數(shù)解問題.并根據(jù)這一具體方程解的情況，給出了方程(1)中有(x,y)=(k1+k2,k1+k2)解的結(jié)論.

φ(xy)=5φ(x)+7φ(y)

(2)

1 引理

引理3[13]當n≥3是整數(shù)，則φ(n)為偶數(shù)．

引理4[14]方程φ(x)=14無正整數(shù)解.

2 定理及其證明

定理1 方程(2)有整數(shù)解(x,y)=(43, 7)，(43, 9)，(43, 14)，(43, 18)，(49, 9)，(49, 18)，(86, 7)，(86, 9)，(98, 9)，(13, 21)，(13, 28)，(13, 36)，(13, 42)，(21, 13)，(21, 26)，(26, 21)，(28, 13)，(36, 13)，(42, 13)，(15, 41)，(15, 82)，(15, 88)，(16, 41)，(16, 55)，(16, 75)，(20, 41)，(24, 41)，(24, 55)，(30, 41)，(14, 18)，(18, 14)，(8, 50)，(8, 66)，(10, 44)，(10, 66)，(12,50)，(15, 24)，(24, 15)，(12, 44)，(12, 12).

證明 對于方程(1)，設gcd(x,y)=d，則由引理1可知，存在x1,y1∈Z+,使得φ(x)=x1φ(d)，φ(y)=y1φ(d). 再由引理2，有φ(xy)=x1y1dφ(d).結(jié)合方程(1)，有d=k1y1-1+k2x1-1.由于k1≠k2，不妨設k12k2，則有2k2

在方程(2)中，k1=5，k2=7.因而，只需考慮gcd(x,y)=d∈[1,14]的情況.

當x1=42，y1=6時，有φ(x)=x1φ(d)=42，φ(y)=y1φ(d)=6.因而有x=43,49,86,98，y=7,9,14,18. 因而，此時方程(2)有整數(shù)解(x,y)=(43, 7)，(43, 9)，(43, 14)，(43, 18)，(49, 9)，(49, 18)，(86, 7)，(86, 9)，(98, 9).

當x1=14，y1=10時，有φ(x)=x1φ(d)=14，φ(y)=y1φ(d)=10.由引理4可知，方程(2)無整數(shù)解.

當x1=y1=12時，有φ(x)=x1φ(d)=12，則x=y=13,21,26,28,36,42.方程(2)有整數(shù)解(x,y)=(13, 21)，(13, 28)，(13, 36)，(13, 42)，(21, 13)，(21, 26)，(26, 21)，(28, 13)，(36, 13)，(42, 13).

當x1=8，y1=40時，有φ(x)=x1φ(d)=8，φ(y)=y1φ(d)=40.因而有x=15,16,20,24,30，y=41,55,75,82,88, 100,110,132,150. 因而，此時方程(2)有整數(shù)解(x,y)=(15, 41)，(15, 82)，(15, 88)，(16, 41)，(16, 55)，(16, 75)，(20, 41)，(24, 41)，(24, 55)，(30, 41).

當x1=21，y1=3時，有φ(x)=x1φ(d)=21，φ(y)=y1φ(d)=3.由引理3可知，此時方程(2)無整數(shù)解.同理，當x1=7，y1=5時，方程(2)亦無整數(shù)解.

當x1=y1=6時，φ(x)=φ(y)=6，有x=y=7,9,14,18.方程(2)有整數(shù)解(x,y)=(14, 18)，(18,14).

當x1=4，y1=20時，有φ(x)=x1φ(d)=4，φ(y)=y1φ(d)=20.因而有x=5,8,10,12，y=25,33,44,50,66.因而，此時方程(2)有整數(shù)解(x,y)= (8, 50)，(8, 66)，(10, 44)，(10, 66)，(12, 50).

當x1=14，y1=2時，有φ(x)=x1φ(d)=28，φ(y)=y1φ(d)=4.因而有x=29,58，y=5,8,10,12. 由于，以上x，y的值沒有滿足gcd(x,y)=3. 因而，此時方程(2)無整數(shù)解.

當x1=4，y1=4時，有φ(x)=x1φ(d)=y1φ(d)=8.因而有x=y=15,16,20,24,30. 因而，此時方程(2)有整數(shù)解(x,y)=(15, 24)，(24, 15).

當x1=3，y1=3時，有φ(x)=x1φ(d)=y1φ(d)=6.因而有x=y=7,9,14,18. 由于以上x，y的值沒有滿足gcd(x,y)=3. 因而，此時方程(2)無整數(shù)解.

當x1=2，y1=10時，有φ(x)=x1φ(d)=4，φ(y)=y1φ(d)=20.因而有x=5,8,10,12，y=25,33,44,50,66. 因而，此時方程(2)有整數(shù)解(x,y)=(12, 44).

當x1=7，y1=1時，有φ(x)=x1φ(d)=14，φ(y)=y1φ(d)=2.由引理4可知，此時方程(2)無整數(shù)解.

當x1=2，y1=2時，有φ(x)=x1φ(d)=y1φ(d)=4.因而有x=y=5,8,10,12.方程(2)無整數(shù)解.

綜合以上討論，可得本文結(jié)論. 證畢.

在定理1中，當k1=5，k2=7時，方程(2)有解，(x,y)=(12,12)，此時k1+k2=12.那么，對于任意的正整數(shù)k1,k2，方程(1)是否一定有(k1+k2,k1+k2)這一組解.為此，證明了以下結(jié)論.

定理2 對于任意的正整數(shù)k1,k2，(x,y)=(k1+k2,k1+k2)是方程(1)的1組解.

3 結(jié)語

本文討論了當k1=5，k2=7時方程φ(xy)=5φ(x)+7φ(y)的解問題.而對于其他的正整數(shù)k1,k2，效仿定理1中方程的討論，同樣可以得到相對應方程的解，只不過當k1,k2中有一數(shù)略大時，需分2 max{k1,k2}種情況討論.

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(責任編輯：方惠敏)

The Integer Solutions of Euler Equationφ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)(k1≠k2)

ZHANG Sibao1, GUAN Chunmei1, XI Xiaozhong2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,KashgarUniversity,Kashgar844008,China;2.InstituteofMathematicsandComputerScience,YichunCollege,Yichun336000,China)

The solvability of a specific equationφ(xy)=5φ(x)+7φ(y),such asφ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y),was discussed.And all integer solutions were given. According to the condition of its solutions, a conclusion that (x,y) = (k1+k2,k1+k2) was a positive integer solution of equationφ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y) was given, wherek1≠k2, andk1,k2were positived integers.

Euler function; solvability; integer solution

2016-08-11

國家自然科學基金項目(11201411)；喀什大學校內(nèi)項目(142513)．

張四保(1978—)，男，江西峽江人，副教授，主要從事數(shù)論研究，E-mail:sibao98@sina.com.

O156

A

1671-6841(2017)01-0007-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2016200