用解決實際問題的方法學習數學

唐祎

當我們從小學進入中學，我們所學的數學知識從簡單的算術逐步復雜到代數學和幾何學，許多同學在學習數學的時候也就感到有點困難。其實，代數學和幾何學并不是我們想象中的那么難學，只要我們稍加改變觀念，調整學習方法，就能夠學好中學數學。

隨著我們年齡的增長，我們的大腦也逐步成熟起來，所學的數學知識理所當然的回越來越復雜，但我們要明白，不論數學知識多么復雜，數學的思想方法都是來源于現實生活，如果數學的思想方法脫離了生活，與我們生活中處理問題的思想方法相違背的話，那么這種數學思想方法就沒有存在的意義和價值，因此，如果我們能夠用解決實際問題的方法來學習數學知識，那么我們在學習數學的時候，不但不會感覺數學枯燥乏味，反而會覺得學習數學生動活潑。

我們先來看看在實際生活中我們是怎樣處理問題的。

首先是觀察。生活中所出現的問題往往都是具有特殊性的，因此，當我們遇到一個問題是，并不是急于馬上解決，而是用我們明亮的眼睛去觀察，觀察這個問題的特殊性在哪里，同時也通過觀察，獲取大量有用的信息。簡單的說，觀察就是用眼睛看。

然后是聯想。把我們從觀察中獲得的信息通過大腦的分析思考，使這些信息條理化，進而聯想到我們所擁有的資源，更多的是生活的經驗和我們所學的知識，找到解決這個問題的關鍵所在。簡單的說，聯想就是用大腦思考。

最后是構造。當我們有了解決問題的方法，就可以動手去解決問題，在動手解決問題的過程中獲得更多的經驗，積累更多的資源。其實，我們都是從小事做起，在解決小問題的同時積累經驗，在解決好一個問題的同時積累自信心，當我們有足夠的社會經驗和足夠的自信心，就能夠解決比較復雜的問題。簡單的說，構造就是動手去解決問題。

在我們學習數學知識的過程中，我們也可以采用觀察聯想構造這三個過程。下面我用幾個具體的例子來說明。

例1 在拋物線 上找一點 ，使過點 的切線與直線 平行，并寫出切線方程。

不要著急動手做，首先觀察，觀察要解決的是什么問題，以及已經擁有的資源，把要解決的問題和已知的資源明確的擺在桌面。

已知：拋物線 ，線 ，直線 的斜率

求：拋物線的一條切線 ，并且切線 平行與直線 。

然后聯想到與問題相關的一些數學知識：

切線 是一條直線，從而可以設其方程為 ，

由兩條直線平行可以得到它們的斜率相等，即

由 是切線可知， 與拋物線 只有一個交點。

有了這些信息，我們就可以動手解決這個問題了。

解：設切線方程為

因為 ，所以 ，即

由于 是拋物線 的一條切線，所以 與拋物線 只有一個交點，即方程組 只有一個實根，

所以 只有一個實根，判別式

所以 ，即切點坐標 為 ，切線方程為 。

這個過程看起來比較麻煩，但我們要知道，我們做練習，不只是為了做這道題而去做這道題，而是在做練習的時候對所學的知識進行全面的復習，加深對所學知識的理解和應用，更重要的是從一個具體問題中培養我們的思維能力，養成一個有條不紊的思維過程，對我們以后的學習和生活有著非常重要的意義。

例2 求函數 的最大最小值。

在實際生活中，不同的人在處理同一個問題的時候，他們的處理方法有可能不同，這是因為他們可能有著不同的社會經驗和不同的資源，從而導致他們解決問題的方法不同，但是，他們的目標是一致的，他們都是用自己熟悉的方法去更好的解決問題。

其實，在我們在做數學練習時，也經常會遇到一題多解，如果我們遇到這種問題，我們可以進行多方面的嘗試，用不同的方法去解決同一個問題，有了比較，就有了選擇，我們就可以從中找到自己熟悉的方法。

對于例題2，我們可以從不同的角度，用2種不同的方法去解決。

方法1：重復前面的過程，把要解決的問題和已知的資源明確的擺在桌面。

已知：函數

求：函數 的最大最小值

分析聯想：（1）三角函數 的最大值為 ，最小值為

（2）倍角公式

（3） ，

其中

如果看到這道題目，我們能聯想到這些知識，那么這道題就很簡單了。

解：因為 ，所以

所以函數 ，

所以當 時，函數 取得最大值，并且等于

當 時，函數 取得最大值，并且等于

方法2：聯想分析：

利用導數的求函數的最大最小值

從這個角度思考分析，就可以得到一種新的解法。

解：

所以 ，解得 或者

當 時， ；當 時，

比較得

當 時，函數 取得最大值，并且等于

當 時，函數 取得最大值，并且等于

數學世界時一個奇妙的世界，但數學的思想方法來源于生活實踐，學會用解決實際問題的方法解決數學問題，不但能夠開拓我們的視野，而且還能提高我們學習數學應用數學的興趣。