不等式證明的若干方法

黃周鈞

摘要：在數學研究中，不等式的探究乃至不等式的推演是很常見的，對簡單不等式的證明能夠根據作差或作商或與1作比較處理.碰到較為復雜的不等式運用高等數學的方法探究將會收到事半功倍的作用，文章以不等式證明的重要性為出發點，對不等式證明的概述進行了闡述，進而根據實際情況探究了不等式證明的若干方法。

關鍵詞：不等式；證明；若干方法

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一、不等式證明的重要性

數學是大家對客觀世界定性掌握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛運用的進程。數學能夠協助大家非常好地討論客觀世界的規則，并對現代社會中很多紛繁復雜的信息作出恰當的選擇與判斷。在高中數學教學中，作為不等式知識的重要內容，不等式的證明是教學中的重點和難點地方。不等式的證明是高中數學的一個重要內容，高考中通常呈現在問答題中，涉及到代數運算、函數思路、數列、幾何、邏輯推理等知識，證法多樣，思路謹慎，若能根據標題特征，靈敏地運用相應的數學方法，通常能快速斷定解題思路，然后使問題簡捷、精確地獲解。

二、不等式證明的概述

17世紀之后，不等式的理論變成數學理論的重要組成部分。根據高斯、柯西、切貝曉夫等對不等式問題的研討，該理論得到非常快的發展，大家也一直在對不等式進行不斷的完善，獲得很多重要作用。不等式不僅有重要的理論含義，在實踐方面運用于工程技術領域對生產有很大的作用。證明不等式的方法不僅有豐富的邏輯推理、還需要對不等變形和恒等技巧問題進行思考，為何不等式證明的問題教師覺得難講、學生不會做呢？很大的因素是因為我們常見和常用的方法經常不知道怎樣用，因而，我想有必要對不等式的證明方法進行總結概括。

三、不等式證明的若干方法

（一）比較法

這是一種證明不等式的最基本的方法，具體有“作差法”和“作商法”兩種。此法表現了簡化了思路方法，其基本證明思路是把難以比較的式子變成其差與0比較，或者其商與1比較。通常狀況下，若求證的不等式兩頭是分式時，常用作差法；若求證的不等式兩頭是乘積方式或冪指數方式時，常用作商法來比較。

（二）歸納法

由已知條件出發，憑借某些現已證明過的不等式和不等式的性質及其有關定力，根據逐漸的邏輯推理，處處所要證明的不等式建立。此法的特點是“由因導果”，即從“已知”看“已知”。

（三）研究法

研究法是用研究證明，“若A則B”這個問題模式是：欲證B的真，只需證明B1的真，然后又……，只需證明A為真，故B真。可見研究法是拿果索因，步步尋求上一步建立的充分條件。

這即是假定不等式建立，然后運用不等式的基本條件，逐漸推演，變形，最終得到一個簡單顯著建立或已證明建立的不等式；而推證又可逆，我們就能夠斷定不等式建立，這種方法是我們證明不等式的基本方法之一。

總結：從求證的不等式出發，研究使這個不等式建立的充分條件，把證明不等式轉化為斷定這些充分條件是否建立的問題。如果能夠相應這些充分條件建立，那么就能夠判斷原不等式建立，這即是研究法。通常狀況是直接推理不容易，就從定論找條件來推理。

（四）換元法

這是一種使很多實踐問題處理中化難為易，化繁為簡的方法，有些問題直接證明較為困難，若根據換元的方法去解則很簡便，常用于條件不等式的證明，常見的是“三角換元法”和“比值換元法”。

①三角換元法：這是一種常用的換元方法，在處理代數問題時，運用適當的三角函數進行換元，把代數問題轉化為三角問題，再充分運用三角函數的性質去處理問題；②比值換元法：此法對于在已知條件中富含很多個等比式的問題，通常可先設一個輔佐不知道數表明這個比值，然后代入要求證的式子即可。

（五）放縮法

這種方法是在證明不等式時，把不等式一邊適當擴展或減小，運用不等式的傳遞性來證明不等式。此法是證明不等式的重要方法，技巧性強。通常用到的技巧有：①舍去一些正項或負項。②在和或積中換大或換小某些項。③擴展或減小分式的分子或分母等。

（六）反證法

某些不等式從正面出發，不容易下手，能夠思考反證法。即先否定定論不建立，然后再根據已知條件及其有關概念、定理、正義等，逐漸推導出與這些相或自相的定論，然后相應原有定論是準確的。通常狀況下，但凡呈現“最少”、“僅有”或者富含否定的出題，適用反證法。此法的過程為：反設定論找出相應定論。

（七）數學概括法

此法通常用來證明與自然數N有關的不等式，在證明進程中需求分兩個過程，這兩個缺一不可。

（八）判斷式法

此法憑借于二次函數中，判斷式恒小于0，得出二次函數恒大于0，或者恒小于0。

（九）運用函數單調性證明

理論根據：若函數在區間內可導，則在內單調遞加（或單調遞減）的充要條件是（或）。

因為不等式與函數有密切關系，因而，據求證的不等式構造出函數，運用函數的單調性能夠證明某些不等式，此方法特別適用于函數不等式的證明。

運用定積分的性質證明不等式。理論根據：設f，g為概念[a，b]在上兩個可積函數，若，則有。

定積分是憑借于積分學的知識，證明不等式的一種方法，它重要運用積分的基本公式、基本性質、基本定理證明不等式。

四、結束語

不等式的證明是多變的，因題而異。但萬變不離其宗，大都需從運用概念及基本性質下手，尋求處理之道。在平時教學中，高中數學教師仍是要根據很多的練習，協助學生掌握常見的方法的運用。希望這篇文章在這方面能起到拋磚引玉的作用。文章總結了運用高等數學的知識證明不等式的若干方法，指出每一種方法的適用范圍和運用時應注意的事項及具體過程。

參考文獻：

[1]蔡興光，鄭列.高等數學應用與提高[M].北京：北京科學出版社，2012.

[2]何衛力.高等數學方法引導[M].北京：清華大學出版社，2014.