關于數學問題解決的若干思考

王剛強++王剛強

在新課程改革下的中學數學教學研究探索實踐活動在各個學校中開展。前幾年在我任教的兩個教學班開始采用我市教育學院數學科《問題教學》課題小組的材料進行“問題教學”的教學研究。下面談談我的幾點認識：

一、問題解決對中學數學課程改革重要性的認識

問題解決已引起國內外數學教育界的廣泛重視，究其原因，我認為主要有以下幾方面：

（一）時代和社會需要的反映。在國際競爭日益激烈的今天，人們越來越清楚認識到，對科學技術知識的學習、掌握及創造性和實際應用能力重要性。但創造能力并非與生俱有，必須通過有意識的學習和訓練才能形成。學校教育必須重視培養學生應用所學知識進行創造性工作的能力，問題解決正反映了這種社會需要。

（二）我國數學教育的成功和不足。我國的中學數學教學與國際上其他一些國家的中學數學教學比較，具有重視基礎知識教學，基本技能訓練，數學計算、推理和空間想象能力的培養等顯著特點。然而，改革開放也使我國數學教育界看到了我國中學數學教學的一些不足。其中比較突出的兩個問題是，學生應用數學的意識不強，創造能力較弱。雖然我國數學教育界采取了一些相應措施。

（三）數學觀的發展提出的新課題。對于數學是什么，恩格斯的定義：數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學。恩格斯對數學的觀點是相對靜止的，它主要指出了數學的客觀真理性。然而，當今的社會實踐告訴人們還應該用動態的觀點去認識數學。

二、應該指出“問題教學”是指問題解決的教學活動，而什么是問題解決？

什么是問題解決？有的人認為，問題解決指的是人們在日常生活和社會實踐中，面臨新情景、新課題，發現它與主客觀需要的矛盾而自己卻沒有現成對策時，所引起的尋求處理問題辦法的一種心理活動。英國學校數學教育調查委員會的報告則認為：把數學應用于各種情形的能力就是問題解決。全美數學教師理事會對問題解決的意義作了如下說明：第一，問題解決包括將數學應用于現實世界，包括為現時和將來出現的科學理論與實際服務，也包括解決拓廣數學科學本身前沿的問題；第二，問題解決從本質上說是一種創造性的活動；第三，問題解決能力的發展，其基礎是虛心、好奇和探索的態度，是進行試驗和猜測的意向；等等。

三、怎樣在中學數學教學中體現“問題解決”的思想？

人民教育出版社出版的義務教育在新版初中數學教材中設立了實習作業、應用題、想一想、做一做等，這和問題解決思想是一致的。在《目標--問題集》中還未能充分體現問題解決思想，在問題的設置上流于形式在中學數學教學中應重點體現問題解決的思想精髓，這就是它所強調的創造能力和應用意識。因此我們在中學數學教學中應強調以下幾點：

（一）多鼓勵學生去探索、猜想、發現

要培養學生的創造能力，首先是要讓學生具有積極探索的態度，猜想、發現的欲望。教師要設法鼓勵學生去探索、猜想和發現，培養學生的問題意識，經常地啟發學生去思考，提出問題。學生學習的過程本身就是一個問題解決的過程。當學生學習一門新的課程、一章新的知識、乃至一個新的定理和公式時，對學生來說，就是面臨一個新問題。教師（材料）經常提一些啟發性的問題，就會讓學生逐步養成求知、好問的習慣和獨立思考、勇于探索的精神。在實際教學中，有時候可以先教給學生完整的猜想過程，有時候則可較多地啟發、誘導、點撥學生。不必在任何時候都讓學生親自去猜想、發現，那樣要花費太多的教學時間，降低教學效率。此外，在探索、猜想、發現的方向上，要把好“舵”。

（二）打好基礎是先決條件

這里的基礎有兩重含義：首先，中學教育是基礎教育，許多知識在學生進一步學習中將得到應用，為學生進一步深造打好基礎，因而不能要求所學的知識都能立即在實際中得到應用。其次，要解決任何一個問題，必須有相關的知識和基本的技能。當人們面臨新情景、新問題，試圖去解決它時，必須把它與已有知識聯系起來，當發現已有知識不足以解決面臨的新問題時，就必須進一步學習相關的知識，掌握相關的技能。應看到，知識和技能是培養問題解決能力的必要條件。在提倡問題解決的時候，反而要更加重視數學基礎知識的教學和基本技能的培養。教給學生哪些最重要的數學基礎知識和基本技能，這是解決問題的關鍵。

（三）重視數學應用意識的培養

用數學是學數學的出發點和歸宿。教學必須重視從實際問題出發，引入數學課題，最后把數學知識應用于實際問題，把與現實生活密切相關的的常識如把銀行的利率、投資、稅務測量等方面的問題與數學學習相結合。例如在“角平分線”的教學中的例1就是將角平分線的性質定理應用到解決實際問題中，作業中也讓學生體會解決實際問題的重要性和趣味性。此外，理論聯系實際的目的是為了使學生更好地掌握基礎知識，能初步運用數學解決一些簡單的實際問題，不宜把實際問題搞得過于繁雜，以致耗費太多的學習時間。當然，并不是所有的數學課題都要從實際引入，數學體系有其內在的邏輯結構和規律，許多數學概念是從前面的概念中通過演繹而得，又返回到數學的邏輯結構。

（四）教學應以一般過程和方法為主

在一些典型的數學問題教學中，應注意傳授學生比較完整的解決實際問題的過程和常用方法，對于一些技巧性的問題和繁雜的證明不應該過多強調，以提高學生解決實際問題的能力。

（五）創設問題情景

一個好問題應該有如下的某些特征：

（1）有意義或實際意義，或對學習、理解、掌握、應用前后數學知識有很好的作用；

（2）有趣味，有挑戰性，能夠激發學生的興趣，吸引學生；

（3）易于理解，問題是簡明的，問題情景是學生熟悉的；

（4）適當的時機；

（5）難度的適當。

（六）對現有習題形式的改革

《目標--問題集》中仍然沿用課本的習題和大量傳統練習，這也有背于“問題教學”的宗旨。我認為應對現有習題形式作些改革，配備一些非常規題、開放性題和合作討論題。適當補充一些實際應用問題，使問題更有趣味性和挑戰性。 （1）實際應用問題的編制要能反映實際情景，具有時代感，同時考慮到教學實際需要。 （2）非常規題應與常見的練習題不同。它不能通過簡單模仿加以解決，需要獨特的思維方法。解非常規題能培養學生的創造能力。 （3）開放性問題是相對于“條件完備、結論確定”的封閉性練習題而言的。開放性問題中提供的條件可能不完備，從而結論常常是豐富多彩的，在思維深度和廣度上因人而異具有較大的彈性。對于這類問題，要注意開放空間的廣度，把問題的討論限制在一定的范圍內。 （4）合作討論題是相對于獨立解決題而言的。有些題所涉及的情況較多，需要分類討論，解答有較多的層次性，需要小組甚至全班同學共同合作完成，以便更好地利用時間和空間。這種題可以適當編入課堂練習，使學生互相啟發、互相學習、激發靈感。