平面多邊形面積的最大值

福建省南平市高級中學(353000) 鄭定華

平面多邊形面積的最大值

福建省南平市高級中學(353000) 鄭定華

在我校2016屆高三的一次數學模擬考中,一道看似并不起眼的試題,而答題結果卻一敗如水,這是為什么呢?

題目已知平面圖形ABCD為凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在的直線,其余各邊均在此直線的同側),且AB=3,BC=5,CD=6,DA=4,則四邊形ABCD面積S的最大值為( )

究因這是一道已知四邊形的四條邊長,求其面積的最大值問題,答案是C.解該題時,入口單一,只能用直接法求解;思路難找,對學生的分析與綜合,轉化與化歸等能力的要求都較高;技巧性強,解答中有頗多的曲折地方,分明就是一道以選擇題形式包裝的綜合題,挑戰題,難怪學生折戟.

圖1

思考平面四邊形面積的最大值能否由其四條邊長來表示?此時的四邊形又有何特點?

結論1 在平面四邊形ABCD中,AB=a,BC=b, CD=c,DA=d,p=(a+b+c+d),則當且僅當對角互補,即其四個頂點共圓時,這個四邊形的面積取得最大值,此時

證明如圖1,在△ABC和△ADC中,由余弦定理得AC2=a2+b2-2abcosB=c2+d2-2cdcosD

又平面四邊形ABCD的面積S=S△ABC+S△ADC=,所以

注在四邊形ABCD中,若邊AD退化為一點A,則d=0,就得三角形面積的海倫公式

推論周長為定值的四邊形中,正方形的面積最大.

證明設四邊形的周長為定值1,其四條邊的長分別為a,b,c,d,則p=(a+b+c+d)=,由結論1知

當且僅當對角互補時,①式等號成立.又因為

綜上知,當且僅當對角互補且四邊相等,即這個四邊形為正方形時,面積最大.

平面n邊形也有類似的美妙性質

結論2 對于平面n邊形A1A2···An(n≥4,n∈N),當且僅當其n個頂點共圓時,面積最大.

證明(1)當n=4時,由結論1知,結論2成立.

(2)假設當n=k(k≥4,k∈N)時,結論2成立,即對于平面k邊形A1A2···Ak(k≥4,k∈N),當且僅當其k個頂點共圓時,面積最大.下面證明：

對于k+1邊形A1A2···AkAk+1(k≥4,k∈N),當且僅當其k+1個頂點共圓時,面積最大,用反證法.

假設k+1邊形A1A2···AkAk+1(k≥4,k∈N)的面積最大時,其k+1個頂點不共圓,則兩組頂點A1A2···Ak和A2···AkAk+1中,至少有一組不共圓.

不妨設A1A2···Ak不共圓,由歸納假設知,此時的k邊形A1A2···Ak的面積不會最大.保持各邊長不變,A1Ak邊不動,適當調整各個內角的大小,當頂點A1,A2,···,Ak共圓時,k邊形A1A2···Ak的面積最大,此時的k+1邊形A1A2···AkAk+1(k≥4,k∈N)的面積就比原來的面積大,這與假設矛盾,故假設不成立,由此知,對于k+1邊形A1A2···AkAk+1(k≥4,k∈N),當且僅當其k+1個頂點共圓時,面積最大.

根據(1)和(2),對一切n≥4,n∈N,結論2成立.

由結論2還易知有如下的推論：

推論邊長相等的n邊形以正n邊形的面積最大.

應用

用結論1解我校試題：

例1(河北省衡水中學2015屆高三下學期期中考數學試題(理))已知平面圖形ABCD為凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在的直線,其余各邊均在此直線的同側),且AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,則四邊形ABCD面積S的最大值為( )

例2 把一條長為1的鐵絲圍成一個四邊形,則這個四邊形面積的最大值為___.

解由結論2知,當且僅當所圍成的四邊形是正方形時,其面積最大,此時的邊長為,其最大面積為.