構造熟悉函數再作圖

廣西桂林市田家炳中學(541004) 孔祥勝

構造熟悉函數再作圖

廣西桂林市田家炳中學(541004) 孔祥勝

我們知道函數有三種表示方式：列表、解析式和圖象;函數圖象是函數的直觀表現,用圖象法表示函數關系,可以從整體上直觀形象地研究函數的變化情況.在研究方程根的個數或函數零點個數或函數中的參數范圍時常常需要借助函數的圖象來研究問題,但在作函數的圖象時應先對函數的表達式作適當的變形、構造,盡量避免出現我們不熟悉的函數,否則就容易出現不應有的錯誤.下舉三例說明.

例1已知方程kx=在[e-1,e]上有一個解,求k的取值范圍.

錯解設f(x)=,x∈ [e-1,e],則f′(x)=≥ 0,即 f(x)在 [e-1,e]上單調遞增.問題轉化為直線y=kx與函數 f(x)=在區間[e-1,e]上有一個交點,如圖1知 A(e-1,-e),B(e,e-1),從而kOA≤k≤kOB,即-e2≤k≤e-2.

圖1

錯解分析函數f(x)=,是我們不熟悉的函數,上面雖然通過導數證明了它的單調性,但作圖不夠準確,從而引出錯誤.正確的作圖如圖2,當直線y=kx為函數f(x)的切線時,kOC=(2e)-1(求法略),則正確的答案應為-e2≤k≤e-2或k=(2e)-1.

圖2

圖3

注也可分離參數而構造函數f(x)=,x∈[e-1,e]而解決問題,但構造的函數不是我們所熟悉的函數,利用其圖象解題時容易出錯,特別是把題目由“有一個解”改為“有兩個解”時更容易出錯.

另解由kx=,x∈[e-1,e]得kx2=lnx則如圖3,過原點的拋物線y=kx2和函數y=lnx的圖象關系分三種：①交于點A時,k1=-e2,②交于點B時, k2=e-2,③相切于點C(兩者有公切線)時,由兩切線與重合可解得k3=(2e)-1,則由圖3直觀地有原題解為-e2≤k≤e-2或k=(2e)-1. ·ex是我們不熟悉的函數,雖然研究了它的導數但它的圖象作錯了,原因可能是受平時處理得較多的三次函數的圖象影響,沒有注意到在y軸左邊,函數恒大于0.正確的函數圖象如圖5,因此答案是.

圖4

圖5

另解由

錯解分析函數·ex=m得x2-x=me-x,如圖6,在同一坐標系作出y=x2-x和y=me-x(其圖象可由熟悉的y=mex圖象關于y軸對稱而得)的圖象,顯然當m≤0時不滿足題意,當它們相切于點M(x0,me-x0)時有公切線(兩條切線重合),即兩直線

圖6

例3(2013江蘇理20改)求函數f(x)=lnx-ax,其中實數a≤ e-1的零點個數.

圖7

解由f(x)=lnx-ax=0得 lnx=ax(注：原題函數是我們不熟悉的函數,雖然可以通過導數研究討論它的單調性,但作出的圖象不一定準確；若習慣分離常數得,則作圖時同例1也容易出錯).如圖7,當y=ax與y=lnx相切時,易求a=e-1,由圖7直觀地有當a≤0或a=e-1時,函數有一個零點；當0＜a＜e-1時,函數有兩個零點.

從上三例可看出,利用函數的圖象解題時,要避免用不熟悉函數的圖象,而盡量構造出我們熟悉的基本初等函數,容易作出其較準確的圖象.另外含參數的兩曲線相切時往往是它們關系的臨界狀態,這時它們的公切線方程(兩切線重合,斜率和截距均相等)應是我們破解題目的利器.