函數f(x)=|ax-b|±|ax-c|的性質及其應用

云南省玉溪第一中學(653100) 武增明

函數f(x)=|ax-b|±|ax-c|的性質及其應用

云南省玉溪第一中學(653100) 武增明

在高中數學學習中,同學們對函數f(x)=|ax-b|± |ax-c|的最值及圖象的對稱軸、對稱點有些生疏,因此,筆者介紹此函數的最值和圖象的對稱軸、對稱點及其應用,旨在能對同學們有所啟示和幫助,同時希望師生關注該函數.

1.f(x)=|x-a|+|x-b|(a/=b)的圖象與性質

這類函數,只需討論a ＜ b的情形.將函數 f(x)=|xa|+|x-b|(a ＜ b)表達式中絕對值符號去掉后函數的表達式是一個分段函數.函數圖象如圖1所示.f(x)min=b-a,f(x)max不存在,函數圖象關于直線軸對稱.

圖1

因此,函數f(x)=|x-a|+|x-b|(a/=b)有如下性質.

性質1 函數f(x)=|x-a|+|x-b|(a/=b)的最小值為|b-a|,沒有最大值,圖象關于直線對稱.

2.f(x)=|x-a|-|x-b|(a/=b)的圖象與性質

當a＜b時,可用分段函數表示為

函數圖象如圖2所示.

當a＞b時,可用分段函數表示為

函數圖象如圖3所示.

性質2 函數f(x)=|x-a|-|x-b|(a/=b)的最小值為-|a-b|,最大值為|a-b|,圖象關于點對稱.

圖2

圖3

3.f(x)=|ax-b|+|ax-c|(a/=0,b/=c)的性質

令ax=t,則

由性質1,知函數g(t),即f(x)的最小值為|b-c|,沒有最大值.函數g(t)的圖象關于直線

因此,函數f(x)=|ax-b|+|ax-c|(a/=0,b/=c)有如下性質.

性質3 函數f(x)=|ax-b|+|ax-c|(a/=0,b/=c)的最小值為|b-c|,沒有最大值,圖象關于直線對稱.

4.f(x)=|ax-b|-|ax-c|(a/=0,b/=c)的性質

令ax=t,則

由性質2,知函數g(t),即f(x)的最小值為-|b-c|,最大值為|b-c|.因為函數g(t)的圖象的對稱中心的橫坐標為,所以,故函數f(x)的圖象關于點對稱.

因此,函數f(x)=|ax-b|-|ax-c|(a/=0,b/=c)有如下性質.

性質4 函數f(x)=|ax-b|-|ax-c|(a/=0,b/=c)的最小值為-|b-c|,最大值為|b-c|,圖象關于點對稱.

5.f(x)=|ax-b|±|ax-c|的應用

例1 (2009年高考山東卷 ?理 4)設函數f(x)= |x+1|+|x-a|的圖象關于直線x=1對稱,則a的值為( )

A.3 B.2 C.1 D.0

解由性質1,知函數f(x)的圖象關于直線對稱,又已知函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱,所以,故選A.

例2 (2015年高考重慶卷 ?理16)若函數f(x)= |x+1|+2|x-a|的最小值為5,則實數a=___.

則由性質1,知g(x)的最小值為|-1-a|,又|x-a|的最小值為0,所以f(x)的最小值為|-1-a|.已知f(x)的最小值為5,故|-1-a|=5=?a=4或a=-6.

例4 已知函數f(x)=|2x-a|-|2x-b|(a,b∈R+)的圖象關于點(1,0)成中心對稱.

解(I)由性質4,知f(x)的圖象關于點對稱,又已知f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,所以1=?a+b=4.記

(當且僅當a=b=2時等號成立).又

(當且僅當a=b=2時等號成立).故

圖4

y=f(x)的值域為[-|a-b|,|a-b|].結合圖象(如圖4)可知,

又b=4-a,所以