HPM視角下均值不等式的教學設計

深圳市第七高級中學(518000) 關嘉欣

HPM視角下均值不等式的教學設計

深圳市第七高級中學(518000) 關嘉欣

本文根據發生教學法的理論基礎：在學生產生足夠的求知動機后,在心理發展的合適階段來傳授某個知識點;讓學生認識到所引入的新知識是解決問題的需要;強調它們為什么為特定的數學問題提供了解決方案,基本特征是“知識產生的必要性”—讓學生認識到所引入的知識是解決問題的需要[1],結合均值不等式的考綱要求,給出了HPM視角下均值不等式的教學設計.

1.教學設計

1.1 情境創設

地圖上有兩個未曾開發的島嶼：一個是綠島,一個是藍島.你有權利選擇其中一個島作為島主,你會選擇哪個島呢?我們都肯定想要面積比較大的島嶼,但是由于圖形不規則,我們無法直接測量計算其面積,那么我們怎么知道哪個島面積比較大呢?[2]

圖1 航線示意圖

歷史上有一名航海家為了比較新發現的島的面積大小,他想到了這樣的一個方法：我們坐船繞著島的海岸線航行一周,記錄航行時間.所花費的時間越長,證明海岸線越長,也就說明了該島的面積就越大了.同學們,你們覺得該方法可行嗎?

教師引導學生發現這個方法實際上是通過周長大小來判斷面積大小.為了讓這個問題更有利于我們解答,不妨假設這兩個島的形狀是我們最熟悉的矩形.那么如果這兩個島都是矩形,他提出的方法可行嗎?

根據學生已有的知識：“周長一定的矩形,面積最大的是正方形”,引導學生把問題數學化：不妨假設矩形的長為a,寬為b,半周長為p,則面積為S=a(p-a),我們可以看到這是一個二次函數,當有最大值,由此得到：時等號成立.而將是我們今天要學的一個重要的不等式.

1.2 概念形成

在概念形成方面,筆者利用了學生熟悉的趙爽弦圖加深對均值不等式的理解.

大約在公元3世紀,中國古代數學家趙爽“負薪余日,聊觀《周髀》”,沉迷在數學王國中.他在給《周髀算經》的“勾股圓方圖”作注時,給出圖2所示的“大方圓”.[3]

圖2 勾股圓方圖

設直角三角形的勾、股、弦分別為a,b,c,則以c為邊的正方形由四個全等的綠色直角三角形和一個邊長為b-a的白色小正方形構成.

問題1你能根據這個圖形得到什么等量關系嗎?

(預設：a2+b2=2ab+(b-a)2.)

問題2 你能從上述等式中得到什么恒定的不等關系嗎?

(預設：a2+b2≥2ab,a2+b2≥(b-a)2.)

問題3 剛才得到的不等關系中,哪個能幫助你解決剛才導入的問題,得到

(預設：a2+b2≥2ab.)

問題4 聯系導入中的結果：當a=時a(p-a)≤取到等號.結合圖形,請問a2+b2≥2ab什么時候等號成立?

(預設：a=b時等號成立,白色面積為0.)

教師歸納從上面的探究中,我們可以得到：一般地,對于任意實數a,b,有a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立.

1.3 證明推導

剛才我們是從幾何圖形的面積關系得到均值不等式,你們還能想到什么辦法能直接推導出這個不等式嗎?

給學生留5分鐘左右的時間自己給出證明.教師將學生給出的證明方法呈現,視乎實際情況決定是否補充.

教師引導學生利用比例得到均值不等式的證明[4]：

方法一設a,b是兩條已知線段,a＜b,A為a,b的等差中項,G為a,b的等比中項,則因A-a=b-A,a＜A,故,此即,故得G＜A.

方法二設a,b是兩條已知線段,a＜b,A為a,b的等差中項,G為a,b的等比中項,因,故,由a＜G,得G-a＜b-G,故G＜A.

再觀察下列圖3,它是以O為圓心,AB為直徑的圓,設AC=a,BC= b,DC垂直于AB,你能從圖形中找到a, b的等差中項和等比中項嗎?

圖3

教師提問你能利用該圖形證明基本不等式嗎?(預設：OD≥DC,當OC重合,即當a=b時,等號成立.)

1.4 例題講解

例1回顧導入的問題,你能利用均值不等式求解?

解由已知,面積S=x(p-x),由于矩形長寬都是大于0的,即x＞0,x-p＞0,滿足均值不等式的條件,所以,當且僅當x=p-x時等號成立,即時取得最大值,也就是說,長寬相等時面積最大.

例2我們剛才是限定半周長p一定,得到x=時取得最大值.那么如果我們限定S一定時,又會得到什么結論呢?

教師小結和一定積有最大值;積一定和有最小值.

思考題1471年雷吉奧蒙塔努斯(Regiomontanus,1436-1476)在他給愛爾福特大學一名教授羅德的信中提出了下面的問題：“一根垂直懸掛的桿子,從地面上哪點看上去它最長(也就是視角最大)?”這被宣稱是自古以來數學史上第一個極值問題[6].

圖4

在圖中桿子用線段AB表示.令OA=a,OB= b,OP=x,其中P是地面上使得角θ=∠BPA最大的點.令α=∠OPA,β=∠OPB,請同學們研究θ與x的關系,并由此求出當x取何值時θ最大?

2.結論

用數字來總結HPM視角下均值不等式的教學設計的特點是：

一個視角.本節課一改“直接平方展開得到均值不等式”的常用引入方式,而是用歷史上“用航行時間來估計面積大小”這個誤區作為引入,重現等周問題驅動均值不等式產生的歷史,從歷史發生的視角來進行教學設計,試圖說明均值不等式的自然發生過程.

兩座橋梁.整節課建立了兩座橋梁：一是溝通歷史和現實之橋,重構均值不等式的發生歷史,使之再現于課堂,走過這座橋,學生也就完整地經歷了均值不等式的產生過程;二是溝通已知和未知之橋,等周問題對學生來說是已知的,而均值不等式對他們來說則是全然未知的,走過這座橋,學生也就理解了均值不等式對解決等周問題的重要意義.

三維目標.無疑,沒有HPM的介入,傳統模式下的均值不等式教學也能很好地達成知識和技能目標.但由于數學史的融入,本節課在“過程和方法”、“情感、態度和價值觀”這兩個目標上顯得更有成效.學生通過這堂課的學習,既了解到均值不等式的產生背景,也參與了代數問題幾何化的過程.同時,還從利用趙爽弦圖模型來證明均值不等式的過程中感悟到趙爽的勤奮精神.

四種方式.本節課主要采用重構歷史的方法.同時,復制式或順應式運用了歷史上數學家利用幾何模型證明均值不等式的方法,附加式展示了趙爽廢寢忘食學習《周髀算經》的歷史.

五項原則.本節課的設計遵循了趣味性、可學性、科學性、有效性和新穎性五項原則.

[1]Tzanakis,C.Arcavi,A.Integrating history of mathematics in the classroom：an analytic survey.In：J.Fauvel J,van Maanen(eds.),History in Mathematics Education;the ICMIStudy.Dordrecht：Kluwer Academ ic Publishers,2000,201-240.

[2]Heath,T.L.A History of Greek Mathematics.Oxford：Oxford University Press,1921.

[3]汪曉勤.均值不等式：從歷史到課堂[J].數學傳播,2014,38(4)：53-67.

[4]汪曉勤.關于均值不等式的歷史注記[J].中學教研,2005(10)：47-48.

[5]Maor,E.著,曹雪林,邊曉娜譯.三角之美.北京：人民郵電出版社, 2010.