數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究不能“跟著感覺走”—“推理與證明”的教學(xué)研究和啟發(fā)

江蘇省徐州市第一中學(xué)(221000) 馬芹

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究不能“跟著感覺走”—“推理與證明”的教學(xué)研究和啟發(fā)

江蘇省徐州市第一中學(xué)(221000) 馬芹

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究“跟著感覺走”并不是以個(gè)例的形式存在,尤其是在學(xué)習(xí)成績中等及以下的同學(xué)身上表現(xiàn)明顯,可以說這是他們學(xué)習(xí)成績無法取得進(jìn)步的一個(gè)非常重要的因素.這種問題的形成原因與學(xué)生的惰性、急于求成等不良習(xí)慣有直接關(guān)系,但也與教師的教學(xué)認(rèn)知和習(xí)慣有很大關(guān)系.

1問題的提出

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,很多時(shí)候教師會(huì)發(fā)現(xiàn)一些同學(xué)在分析問題、解決問題的時(shí)候這樣說：“我覺得是這樣的”.這就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究“跟著感覺走”最直接的表現(xiàn)方式,而有這種習(xí)慣的學(xué)生,一般他的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和成果不會(huì)太好,而且這個(gè)現(xiàn)象尤其在學(xué)困生身上表現(xiàn)更明顯,甚至“胡扯”的解決過程也屢見不鮮.這些情況為什么會(huì)出現(xiàn),怎么解決?諸如此類的問題通常都會(huì)被“該生學(xué)習(xí)習(xí)慣不好”或“該生學(xué)習(xí)能力不高”而掩蓋,從而被教師們忽略而未加以深究.但通過對(duì)的“推理與證明”教學(xué)的研究和發(fā)現(xiàn)猛然敲醒了筆者,故而整理如下,以期拋磚引玉.

2問題的分析

2.1 “推理與證明”教材分析

推理與證明是課程標(biāo)準(zhǔn)中新增加的內(nèi)容.本章內(nèi)容分為“合情推理與演繹推理”、“直接證明與間接證明”、“數(shù)學(xué)歸納法”三個(gè)部分.

在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中,學(xué)生對(duì)演繹推理、數(shù)學(xué)證明、公理化思想、合情推理等只有初步的認(rèn)識(shí)和體會(huì),本章的主旨意圖是讓學(xué)生結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例,對(duì)合情推理、演繹推理以及數(shù)學(xué)證明的方法進(jìn)行概括與總結(jié),體會(huì)合情推理、演繹推理以及數(shù)學(xué)證明在數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、證明與數(shù)學(xué)體系建構(gòu)中的作用,從而讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)推理與證明的理解,掌握推理與證明的基本方法,提高數(shù)學(xué)思維能力,形成對(duì)數(shù)學(xué)較為完整的認(rèn)識(shí).

2.2 教學(xué)實(shí)際情況和成果分析

經(jīng)過多個(gè)周期的觀察筆者發(fā)現(xiàn),對(duì)于推理證明的教學(xué)設(shè)計(jì),絕大多數(shù)教師的安排都是把以下幾個(gè)方面作為教學(xué)目標(biāo)的重點(diǎn)：能利用歸納和類比等方法進(jìn)行簡單的推理、能利用分析法、綜合法、反證法解決問題、能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題,實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的方式一般是通過練習(xí)的分析處理來實(shí)現(xiàn).而演繹推理一般同推理案例賞析的處理方法相同：賞析、了解就好.

仔細(xì)分析,不難發(fā)現(xiàn)這樣的安排實(shí)質(zhì)是緊跟高考的指揮棒,考什么教什么,怎么考怎么教.不可否認(rèn),無論是從實(shí)際出發(fā)還是從實(shí)質(zhì)出發(fā),這樣的安排都有一定的道理,因?yàn)檫@些確實(shí)是重點(diǎn).但如果認(rèn)真細(xì)致地研究學(xué)生的學(xué)習(xí)和掌握情況,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)被我們忽略的問題.一是通過習(xí)題的分析和訓(xùn)練是否能實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo);二是演繹推理我們只要能明白推理形式就可以了嗎?實(shí)踐證明這是不行的,從以下兩個(gè)案例可見一斑.

案例一(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修2-2第72頁第3題第(1)題)把下列推理回復(fù)成完全的三段論：因?yàn)椤鰽BC三邊的長依次為3,4,5,所以△ABC是直角三角形.

絕大多數(shù)同學(xué)給出的解答如下：

直角三角形中a2+b2=c2(大前提)

三角形ABC三邊長為3,4,5(小前提)

△ABC為直角三角形(結(jié)論)

錯(cuò)誤原因很顯然：他們僅僅只了解了演繹推理的“形”,而未弄清演繹推理的“實(shí)”.此處的大前提應(yīng)該改為：若一個(gè)三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2=c2,則這個(gè)三角形是直角三角形.大前提應(yīng)該是由小前提得到結(jié)論的理論依據(jù).

案例二(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修2-2第87頁第2題)求證：當(dāng)a＞1時(shí),.

這道題會(huì)有很多同學(xué)會(huì)這樣寫：要證

只要證

所以

所以a2-1＜a2,所以-1＜0,綜上可知：

本題錯(cuò)誤原因絕不只是因?yàn)橐粋€(gè)“懶”字,而是學(xué)生根本沒有去思考為什么要寫“要證”、“只要證”之類的文字.

另外,在課本書后練習(xí)中,有不少題目考查的是三角、數(shù)列、不等式等部分的知識(shí).這些知識(shí)、問題本身就比較靈活,更重要的是學(xué)生因?qū)W習(xí)時(shí)間已經(jīng)過去較久,故而遺忘的東西太多,因此在解決問題時(shí)絕大多數(shù)精力都放在知識(shí)的回憶中了,怎么可能專心致志地體會(huì)本章的知識(shí)及運(yùn)用呢?故而筆者認(rèn)為本章的重點(diǎn)不是如何解決問題,而是如何應(yīng)用本章的知識(shí)去解決問題并弄清應(yīng)用的理由.

2.3 教學(xué)實(shí)況的深入分析和折射

結(jié)合我們實(shí)際的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),我們會(huì)發(fā)現(xiàn)不止本章學(xué)生有典型錯(cuò)誤,其它章節(jié)也有很多類似的案例.比如,已知三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱時(shí),有不少學(xué)生會(huì)這樣用此條件：因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱,所以平面ABB1A1⊥平面ABC;又比如,解不等式1時(shí),不少同學(xué)這樣解：因?yàn)?所以x+1＞1,所以x＞0;再比如,求函數(shù)的減區(qū)間,答案(-1,0)∪(0,1)會(huì)“前仆后繼”地出現(xiàn),諸如此類,數(shù)不勝數(shù).

這些都是典型的錯(cuò)誤,這樣的錯(cuò)誤遍布各個(gè)章節(jié),這樣的錯(cuò)誤經(jīng)歷無數(shù)遍仍會(huì)出現(xiàn),而且最關(guān)鍵的是當(dāng)這些錯(cuò)誤出現(xiàn)的時(shí)候,會(huì)有同學(xué)理直氣壯地向老師發(fā)問：“我這兒為什么錯(cuò)?”.這么顯而易見的問題為何如此難以解決呢?

首先是這些錯(cuò)誤出現(xiàn)的原因,不是學(xué)生因不會(huì)而亂寫,而是他們“覺得”對(duì).再者是教師沒有發(fā)現(xiàn)真正的錯(cuò)因,通常把錯(cuò)因歸咎于學(xué)生“懶”或“習(xí)慣不好”.真正的原因不被發(fā)現(xiàn),那錯(cuò)誤就會(huì)一直延續(xù).真正的錯(cuò)因到底是什么?筆者認(rèn)為就在“覺得”兩個(gè)字上.他們解決問題都是憑感覺,這肯定經(jīng)不住推敲.凡是解決問題“跟著感覺走”的,就沒有考慮每一步推導(dǎo)的理論依據(jù)的習(xí)慣,也就是不知道演繹推理中的“大前提”及其作用.

所以本章的內(nèi)容設(shè)置不僅不是可有可無的,反而給“學(xué)生的學(xué)、教師的教”提供了一個(gè)尋根究底、反思總結(jié)的“源”.

3教學(xué)的建議

3.1 勿以題練手而忽略對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)本身的思考探索

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,不做題無疑是不行的,但只做題肯定也是不行的.這不僅僅是說題海戰(zhàn)術(shù)不可取,更重要的是不能讓學(xué)生陷入機(jī)械地模仿中去.數(shù)學(xué)問題的解決過程多數(shù)是演繹推理過程,只是省略了大前提,而這個(gè)大前提恰恰就是基礎(chǔ)知識(shí).如果平時(shí)只注重“刷題”,忽略對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的分析、思考,那越來越多的學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)“跟著感覺走”的現(xiàn)象.

3.2 勿以經(jīng)驗(yàn)為主而忽略對(duì)教學(xué)資源的再研究發(fā)現(xiàn)

經(jīng)常會(huì)有人說經(jīng)驗(yàn)主義教條主義害死人,但不可否認(rèn),一旦我們有了一定的經(jīng)驗(yàn),就會(huì)不知不覺地從經(jīng)驗(yàn)出發(fā).為了不陷于此,只是提醒自己,那是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.我們只有不斷地梳理更新自己的理念,才不會(huì)被經(jīng)驗(yàn)束縛.哪怕是舊資料只要不斷地嘗試從新的角度探討研究,也會(huì)有不同的發(fā)現(xiàn).只要追求,總會(huì)有收獲.

3.3 勿以本為本而忽略教材資源的開發(fā)、重組和取舍

比如“推理與證明”這一章,筆者是用下面這道題,開始本章的旅程的.

問題已知數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=an+(2n-1),求{an}的通項(xiàng)公式.

多數(shù)學(xué)生基本和當(dāng)初剛學(xué)數(shù)列時(shí)一樣不會(huì)用疊加法求解,而是用歸納推理.原來用這個(gè)方法的時(shí)候是因?yàn)闊o可奈何,但現(xiàn)在學(xué)生會(huì)高興的發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法也是很重要的一種數(shù)學(xué)思想方法,并且一直到本章結(jié)束學(xué)生才能徹底地解決這個(gè)問題,不僅達(dá)到一線貫穿始終的目的,同時(shí)還掌握了歸納猜想證明的數(shù)學(xué)思想方法.再例如,進(jìn)行“直接證明和間接證明”的教學(xué)時(shí),在了解熟悉各類方法之后,先不要急于進(jìn)行書后練習(xí).此時(shí)可以把書上的一道例題搬出來,要求學(xué)生用三種方法去證明.

題目若a,b,m∈(0,+∞),b＜a,求證:.

證明完成的過程,學(xué)生既有“形”的認(rèn)識(shí),又有“實(shí)”的比較,就不會(huì)只是感覺和模仿了.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中,因?yàn)閷W(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣或教師的教學(xué)方式,有很多學(xué)生學(xué)習(xí)研究會(huì)“跟著感覺走”,而“推理與證明”這一章節(jié)為教師和學(xué)生提供了一個(gè)轉(zhuǎn)變認(rèn)識(shí)、更正習(xí)慣的好平臺(tái).正確地引導(dǎo)、研究,讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣,才能真正有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,形成理性思維和科學(xué)精神.

[1]江蘇省考試院.2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷)說明(M),南京：江蘇鳳凰教育出版社,2014

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修2-2數(shù)學(xué)(M),江蘇教育出版社,2006.

[3]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修2-2教學(xué)參考數(shù)學(xué)(M),江蘇教育出版社,2006.