一道高考題的探索歷程

廣州市真光中學(510380) 黃林盛

一道高考題的探索歷程

廣州市真光中學(510380) 黃林盛

原題(2016年全國高考新課標I卷理科試卷第20題)設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.

(I)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;

(II)設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MNPQ面積的取值范圍.

一、考點分析

(1)考點、熱點的考查：直線、圓和橢圓

直線的方程：點斜式方程y-y0=k(x-x0),直線方程的設法,直線與直線的垂直位置關系,點到直線的距離.

橢圓的定義：|MF1|+|MF2|=2a＞|F1F2|,橢圓的標準方程,直線與橢圓相交的位置關系,橢圓的弦長公式：,關于橢圓相關平面幾何圖形的面積及最值問題.

(2)能力和應用意識的考查：邏輯推理的能力、運算求解的能力、數據處理的能力、數形結合應用意識和設而不求應用意識.

二、審題分析—采取化整為零,步步為營的策略

(1)題目的第一小句：“圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A”,將這句話近距離推理為：“圓A的標準方程為x2+y2+2x-15=0”;

(2)題目的第二小句：“直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點”,這句話表明直線l的斜率存在且不為零或直線l垂直于x軸,直線l與不含左右頂點的橢圓E相交,其中橢圓E不含左右頂點與直線l與x軸不重合相呼應,體現題目編寫的嚴謹、合情合理,同時這句話間接告訴考生此條件將為問題的解決隱含著什么;一是動直線l方程的兩種設法,二是求點E的軌跡方程y隱含條件埋下伏筆;

(3)題目的第三小句：“過B作AC的平行線交AD于點E”,此處會讓考生產生聯想：初中學習的平行線的性質定理和三角形相似性—在三角形中平行與一邊的直線將原三角形形成兩個三角形相似,相似三角形對應邊成比例、對應角相等,同時由線段AC和線段AD都是圓A半徑,長度相等,三角形ACD為等腰三角形,如圖1;

圖1

(4)問題的第一小問：“證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程”,此問又含有兩小問：先證定值、接著根據定值判定軌跡曲線類型再書寫軌跡方程,考生要注意書寫方程根據點E的軌跡帶上y的限制條件;

(5)問題的第二小問：“設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MNPQ面積的取值范圍”,分三句來理解推理,第一句：“設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點”,此句交待：直線l與橢圓C1相交,交點MN之間的距離為弦長,由弦長公式可求;第二句：“過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點”,此句交待：與圓A相交的直線m與直線l垂直,且垂足為點B,此信息告訴考生如果兩直線斜率存在,則斜率乘積等于-1,同時交點P,Q之間的弦長可以根據直線與圓的弦長公式可求,其中d為圓心A到直線m的距離;第三句：“求四邊形MNPQ面積的取值范圍”,四邊形MNPQ的對角線MN和PQ所在的直線分別為直線l、直線m相互垂直,有四邊形MNPQ面積,如圖2.

圖2

三、解題分析

解： (I)因為|AD|=|AC|,EB//AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|,參見圖1.又圓A的標準方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4由題設得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由橢圓定義可得點E的軌跡方程為：=1(y/=0)

可得當l與x軸不垂直時,四邊形MNPQ面積的取值范圍為(12,8);當l與x軸垂直時,其方程為x=1, |MN|=3,|PQ|=8,四邊形MNPQ的面積為12.綜上,四邊形MNPQ面積的取值范圍為[12,8).

說明以上讓學生感到：按照踩點計算得分的話,每一分獲得都不容易.

解法二(1)利用,又 AC=AD,所以BE=DE方法同上.(2)方法同上.

解法三(1)方法同上.

(2)可設直線l方程：x=ty+1,t∈R,代入橢圓方程：3x2+4y2=12,消x整理得：(3t2+4)y2+6ty-9=0, Δ＞0顯然成立,,所以

直線l的方程可化為：x-ty-1=0,t∈R與直線l垂直的直線m方程可以設為tx+y+c=0,把B(1,0)代入得c=-t.所以直線m方程：tx+y-t=0,所以點A(-1,0)到直線m的距離為.所以.

四邊形MPNQ的面積

四、變式分析

變式一已知橢圓的中心在坐標原點上,長軸端點為A、 B在x軸上,右焦點為F,且.

(1)求橢圓的標準方程

(2)過橢圓的右焦點F作直線l1,l2,直線l1與橢圓分別交于M、N點,直線l2與橢圓分別交于P、Q點,且l1⊥l2,求四邊形MPNQ的面積S的最小值.

當且僅當k=±1時取“=”號.

變式二已知橢圓圓于A、C兩點,且AC⊥BD,垂足為P.

(1)設P點的坐標為(x0,y0),證明：

(2)求四邊形ABCD的面積的最小值.

解析(1)橢圓的半焦距c=1,由AC⊥BD知P(x0,y0)在以F1,F2為直徑的圓上,故即證.

(2)①若直線BD的斜率k=0或斜率不存在時,四邊形MPNQ的面積S=4.

變式一、二的第二問都是設置兩條直線相互垂直,與橢圓的交點構成四邊形,都是問該四邊形的面積的最小值.此兩題變式巧妙改編原題,有利于學生對此類問題的解法掌握,做到一解多題.

[1]趙緒昌.讓學生在數學課堂中生成智慧[J],中國數學教育(高中版),2010(11).

[2]皮連生.學與教的心理學[M],華東師范大學出版社,2009年1月第五版.

[3]羅增儒.中學數學解題的理論與實踐[M],廣西教育出版社,2008年9月第1版.

[4]張松年.把學習過程中的思維空間讓給學生[J].中學數學教學參考, 2009(10).