處理含雙參平面向量問題的五大策略

江西省信豐中學(341600) 何春良

處理含雙參平面向量問題的五大策略

江西省信豐中學(341600) 何春良

平面向量是高中數學的重要內容,它與代數、幾何以及三角等知識聯系緊密,它作為高考的重要考點,經常出現在選擇與填空的壓軸題中,尤其是含雙參的平面向量問題,在近幾年高考命題中考查的頻率比較高,考生在處理這類問題時,經常感到無助,不知從何處入手.作為教學一線的高中數學教師,筆者對近幾年各省有關含雙參平面向量問題的高考題與模考題進行了系統的整理,歸納出了處理這類問題的五大策略,以供大家參考,以饗讀者.

策略一、直角坐標法

直角坐標法是處理平面向量問題的主要方法,只要能夠建立直角坐標系,把點的坐標確定下來,進而向量的坐標就可以表示出來,那么含雙參平面向量問題就可以通過向量關系式得以解決.

例1(2015年撫州模考題)已知四邊形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點.若,則λ+μ=___.

解可將本題四邊形ABCD特殊化為直角梯形,建立直角坐標系求解,如右圖所示.設AB=2a,AD= b,則CD=a(a＞ 0,b＞ 0),所以.又因為,所以,則有解得所以λ+μ=.

圖1

策略二、向量基底法

若問題不適宜建立坐標系解決,則不妨嘗試運用向量基底法,它也是處理含雙參平面向量問題的主要方法,所謂向量基底法就是根據平面向量基本定理,選擇好向量基底,再把題中所給向量全部用基底表示出來,最后把題目翻譯所給的向量關系式.

例2(2014年天津卷 ?理)已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120°,點E,F分別在邊BC,DC上,BE=λBC, DF=μDC.若=1,,則λ+μ=( )

圖2

策略三、三角代換法

當平面向量語言所表述的幾何元素為點時,且這樣的點具有明顯的圓(圓弧)的幾何特征,那么我們就可以根據三解函數定義,把圓(圓弧)上的各個點用坐標表示出來,即相應向量的坐標就出來了,最后代入題設中的向量關系式,問題就得以解決.

例3(2009年安徽卷?理)給定兩個單位向量和,它們的夾角為120°,如圖3所示,點C在以O為圓心的弧AB上運動,若,其中x,y∈R,則 x+y的最大值為____.

解如圖3所示,以OA所在直線為x軸,以垂直于OA的直線為y軸,點O為原點,建立平面直角坐標系xOy.設∠AOC=α,則由三角函數定義,得A(1,0),

圖3

策略四、構造線性規劃模型

有些含雙參平面向量問題經常與解析幾何知識交匯在一起,其最值問題的求解是通過建立直角坐標系,假設動點的坐標,利用已知向量的等價關系,把兩個參數用未知量表示出來,從而構建出目標函數,進而轉化成線性規劃問題來求解.

例4(2013年黃岡模考題)如圖4,四邊形OABC是邊長為1的正方形,OD=3,點P為△BCD內(含邊界)的動點,設(α,β∈R),求α+β的最大值.

解如圖4所示,以 OD 為 x軸, OC為y軸,O為原點,建立平面直角坐標系. 設 P(x,y),而 C(0,1),D(3,0),則,由已知條件,進而可得,所以.這就轉化成了線性約束條件為△BCD區域(含邊界),目標函數為的線性規劃問題,由線性規劃知識,易得B(1,1)為最優解,則.

圖4

策略五、補形法

利用補形法來解決平面向量問題的實質是根據平面向量的基本定理及平行四邊形法則,構造出平面幾何模型,結合共線向量定理與解三角形的相關知識對問題加以解決.

例5(2009年湖南卷?理)如圖5所示,兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起,若,則x=___, y=____.

圖5

圖6

解在圖5中,過D點作AB延長線的垂線DG,垂足為G,再過D點作DF⊥AC,垂足為F,如圖6所示.易知,四邊形AGDF為矩形.由向量加法運算的平行四邊形法可得：.在圖6中不妨設BC=DE=2a,則

在Rt△CAB中,AB=AC=BCsin45°=;

在Rt△DBE中,BD=DEsin60°=;

在Rt△DGB中,易知∠DBG=45°;

由上可見,對含雙參平面向量的問題,由于與其交匯的數學知識較多,解題的方法也比較靈活多變.上述介紹的幾種解題策略是比較常用的,但由于問題的形式千變萬化,考題也常考常新,所以這個問題的求解策略還需要我們不斷地去挖掘、探究與總結.

[1]何春良.處理平面向量模長問題的五大策略[J].中學數學研究(上半月),2016(3)：12-14.

[2]徐惠.平面向量問題的六大處理方法[J].數學通訊(上半月), 2015(7-8)：99-101.