巧用直線參數方程妙解高考題

河北南宮中學(055750) 霍忠林

巧用直線參數方程妙解高考題

河北南宮中學(055750) 霍忠林

解析幾何中動直線過定點問題,是高考中一種常見的題型.這類問題切入點寬、靈活度大、計算繁瑣、耗時費力.不少學生常常缺乏解題策略,導致考場上半途而廢,得分率很低.本文巧用直線的參數方程求解2016年高考數學的幾道壓軸題,過程簡潔,易于接受.下面,舉例說明直線參數方程的巧妙應用.

一、知識回顧

(1)過定點M0(x0,y0),傾斜角為θ(0≤θ≤π)的直線參數方程的標準形式為,其中|t|表示直線上的動點M(x,y)到定點M0(x0,y0)的距離,即：|MM0|=|t|.

(2)過定點M0(x0,y0)的直線(t為參數)與二次曲線f(x,y)=0相交于A,B兩點,A,B兩點對應的參數分別為tA和tB,則弦長|AB|=|tA-tB|.

(3)過定點M0(x0,y0)的直線參數方程的一般形式為(t為參數,a,b/=0),其中|t|表示直線上的動點M(x,y)到定點M0(x0,y0)的距離的倍,即：.

(4)過定點M0(x0,y0)的直線(t為參數,a,b/=0)與二次曲線 f(x,y)=0相交于A,B兩點,A,B兩點對應的參數分別為 tA和 tB,則弦長.

(5)過定點M0(x0,y0)斜率為k的直線參數方程可設為.

二、應用舉例

1.用于證明命題

例題1 (2016年四川高考理科 20題)已知橢圓E:=1(a＞ b＞ 0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個公共點T.

(I)求橢圓E的方程及點T的坐標;

(II)設O是坐標原點,直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A,B,且與直線l交于點P.證明：存在常數λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

例題2 (2016年四川高考文科 20題)已知橢圓E:=1(a＞ b＞ 0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點在橢圓E上.

(I)求橢圓E的方程;

解析(I).

同理可得：

所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.證畢

2.用于求弦長

例題3 (2016年新課標乙卷(理科)20題)設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.

(I)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;

(II)設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.