2016年高考全國(guó)卷(乙)理科數(shù)學(xué)第19題賞析

廣東省汕頭市澄海中學(xué)(515800) 陳東生 蔡玲玲

2016年高考全國(guó)卷(乙)理科數(shù)學(xué)第19題賞析

廣東省汕頭市澄海中學(xué)(515800) 陳東生 蔡玲玲

一、真題

某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得如圖1所示柱狀圖.易損零件數(shù).

圖1

(I)求X的分布列;

(II)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;

(III)以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?

二、真題評(píng)析

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的

1.考點(diǎn)分析本題考察了概率與統(tǒng)計(jì)的幾個(gè)重要主干知識(shí),具體分析如下表(表1)：

設(shè)問(wèn)考查知識(shí)點(diǎn)(I) ①柱狀圖;②用樣本估計(jì)總體(用頻率估計(jì)概率);③離散型隨機(jī)變量及其分布列;④互為獨(dú)立事件的積事件的概率模型;⑤互斥事件的和事件的概率模型. (II) ①分布列的應(yīng)用;②互斥事件的和事件的概率模型. (III) ①數(shù)學(xué)期望;②期望值決策法.

2.特點(diǎn)分析

2.1 試題緊扣考試說(shuō)明,凸顯新課標(biāo)理念.從上表的考點(diǎn)分析不難發(fā)現(xiàn)本題的考點(diǎn)緊扣考試說(shuō)明,重點(diǎn)考查“三基”,突出考查基本概念與問(wèn)題的本質(zhì)屬性,同時(shí)注重幾種能力的考查,即閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力、讀表能力、運(yùn)算能力、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.另外,試題來(lái)源于生活,貼近實(shí)際,具有人文經(jīng)濟(jì)氣息,趣味性強(qiáng),人文特點(diǎn)鮮明,凸顯了新課標(biāo)提出的將數(shù)學(xué)應(yīng)用到實(shí)際生活中的理念.

2.2 試題閱讀量與計(jì)算量大.概率與統(tǒng)計(jì)的考題與其它考題有著明顯的區(qū)別,主要體現(xiàn)在文字、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)據(jù)與圖表的信息量大,閱讀量大,但不失閱讀性,因?yàn)轭}目的的表述都是建立在概率與統(tǒng)計(jì)的基本概念上,大多數(shù)試題源于教材,變于教材,并且試題的背景也貼近生活,通俗易懂,不過(guò)對(duì)考生如何甄別有效的解題信息的能力提出更高要求.注意到本題單單文字量就高達(dá)300字,相當(dāng)一部分考生將本題閱讀了好幾遍之后才弄清楚了題意,當(dāng)然還是有不少考生被繁雜的概念、數(shù)據(jù)、圖表所困擾,無(wú)法將文字、符號(hào)以及圖的信息有效地對(duì)應(yīng)起來(lái),一起考慮問(wèn)題,所以真的不能小看本題的難度.

計(jì)算量大是本題的另一特點(diǎn).其實(shí),統(tǒng)計(jì)與概率題的計(jì)算量大是無(wú)法避免的,雖然更多只是純數(shù)字運(yùn)算,但在考試這么緊張的環(huán)境下,如果再加上對(duì)本題的解法不清晰、沒(méi)把握,更容易陷入繁重的運(yùn)算中不能自拔,導(dǎo)致頻繁算錯(cuò).所以計(jì)算量大也是本題易失分的一個(gè)重要因素.

2.3 脫俗殊常調(diào)(相對(duì)于歷年的廣東卷).習(xí)慣了廣東考法的備考老師和應(yīng)考學(xué)生對(duì)本題的第一感覺(jué)就是常規(guī),還是統(tǒng)計(jì)和概率的綜合性題型,還是離不開(kāi)考查統(tǒng)計(jì)的基本思想—-用樣本估計(jì)總體,但經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析、求解了本題之后,發(fā)現(xiàn)其實(shí)跟以往的廣東卷的考法還是有很大區(qū)別,具體體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

2.3.1 題序后移,難度增大.注意到歷年的廣東卷,概率與統(tǒng)計(jì)是穩(wěn)定在解答題的第二題,名副其實(shí)的千年老二,如今,終于摘帽了,排到了立體幾何的后面,排在解答題的第三題,所以難度相應(yīng)提高不少,從以往的很容易拿分,變成很容易失分,全省考生的均分相對(duì)往年也大打折扣,可見(jiàn)難度增大不少.

2.3.2 “熱門(mén)”不熱,“冷門(mén)”不冷.大家還記得以往廣東卷考查概率與統(tǒng)計(jì)最熱門(mén)的考點(diǎn)嗎?毫無(wú)疑問(wèn),特別是對(duì)于長(zhǎng)期備戰(zhàn)高考的教師來(lái)說(shuō),真是如數(shù)家珍,用樣本估計(jì)總體(頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖),樣本數(shù)學(xué)特征(平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差),還有超幾何分布和二項(xiàng)分布,就是這兩種分布,廣東卷可以連續(xù)六年無(wú)間斷地考查其中的某一種,甚至在2010年一并考查,可見(jiàn)這些考點(diǎn)有多熱門(mén),今年卻都消聲滅跡,真是“熱門(mén)”不熱,當(dāng)然,用頻率估計(jì)概率還在延續(xù).代替這些考點(diǎn)且讓我們感到些許措手不及的是柱狀圖與期望值決策法,雖然都源于教材,平時(shí)也偶有遇到,但出現(xiàn)在考場(chǎng)上,對(duì)于近十年的廣東高考來(lái)說(shuō)還是尚屬首次,真是“冷門(mén)”不冷.

2.3.3 跳出“偽應(yīng)用”,貼近真生活.肯定有不少人和我一樣,“第一眼”看到這一題便莫名地“愛(ài)上”它,仔細(xì)研讀后更是拍案叫好,難道是愛(ài)得無(wú)緣無(wú)故嗎?不可能的.像這樣把真實(shí)且最貼近生活的購(gòu)物經(jīng)濟(jì)問(wèn)題搬上考場(chǎng),對(duì)“人人讀有用的書(shū),人人學(xué)有用的數(shù)學(xué)”做出了最好的詮釋,難道沒(méi)把你給打動(dòng)嗎?如果你還沒(méi)深刻體會(huì)到,我們可以對(duì)比一下往年的廣東卷,考察了近十年的廣東卷,發(fā)現(xiàn)至少有7個(gè)年份的問(wèn)題情境離不開(kāi)這三個(gè)關(guān)鍵詞：工廠、工人、產(chǎn)品,其實(shí),其本質(zhì)與袋子里面裝了黑球和白球沒(méi)啥區(qū)別,所以形式上好像是應(yīng)用題,實(shí)際上對(duì)考生來(lái)說(shuō)沒(méi)有什么現(xiàn)實(shí)意義,與考生的過(guò)往、現(xiàn)在、將來(lái)的生活沒(méi)有多大聯(lián)系,題目給人一種為了應(yīng)用而應(yīng)用的感覺(jué),如此的“偽應(yīng)用”不要也罷.所以相對(duì)來(lái)說(shuō)今年的這一題的確是創(chuàng)新了不少,脫了俗,殊了常調(diào),給人一種耳目一新的感覺(jué),是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的另一典型好題.

3.難點(diǎn)剖析本題被扣上“廣東高考史上最難的概率與統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用題”的帽子,仔細(xì)對(duì)比往年,的確一點(diǎn)都不冤.所以分析本題的難點(diǎn)所在意義重大,總結(jié)起來(lái)主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

3.1 試題閱讀量與計(jì)算量大.試題閱讀量與計(jì)算量大是本題的顯著特點(diǎn),更是本題的一大難點(diǎn),鑒于上述已做分析,這里不再重復(fù).

3.2 抓本質(zhì),選模型.求解概率的應(yīng)用題,實(shí)際上就是建立、求解數(shù)學(xué)模型的過(guò)程,因此解題的關(guān)鍵是尋找它對(duì)應(yīng)的模型,只要模型一找到,問(wèn)題便迎刃而解.毫不夸張地說(shuō),一切概率問(wèn)題均是有“型”可依.我們知道,概率模型主要包括古典概型(超幾何分布模型)、幾何概型、互斥事件的和事件的概率模型、相互獨(dú)立事件的積事件的概率模型(二項(xiàng)分布).連年來(lái)的考題都沒(méi)超出以上幾個(gè)模型.當(dāng)然,今年也不例外,但考生更為得心應(yīng)手的是二項(xiàng)分布與超幾何分布這兩種較為特殊的模型,所以當(dāng)面對(duì)著本題所涉及的隨機(jī)試驗(yàn)是較為陌生的試驗(yàn)的時(shí)候,很多考生便措手不及了,對(duì)該試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼J(rèn)識(shí)只停留在模糊的狀態(tài),甚至還沒(méi)弄清楚做什么試驗(yàn),這樣談何選取正確的概率模型.以求解第一問(wèn)為例,下面分析一下如何突破該難點(diǎn)呢?

首先考生必須結(jié)合隨機(jī)變量X的意義,明確試驗(yàn)?zāi)Ｐ?即為考察2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),然后再根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn),兩臺(tái)機(jī)器各需更換的零件數(shù)是互不影響,即相互獨(dú)立,便能正確判斷出試驗(yàn)的所有可能結(jié)果,即X的可能取值為：16、17、18、19、20、21、22.其實(shí),如果能將這個(gè)試驗(yàn)和“投兩枚質(zhì)地均勻的骰子”這個(gè)最為熟悉的試驗(yàn)類(lèi)比起來(lái),那么本問(wèn)所考查的互斥事件的和事件的概率模型、相互獨(dú)立事件的積事件的概率模型便能清晰地建構(gòu)起來(lái),成功求解本問(wèn)也就近在咫尺,因此,當(dāng)遇到情景較為陌生的概率應(yīng)用題的時(shí)候,一定要先明確在做什么試驗(yàn),如果能聯(lián)系平時(shí)常見(jiàn)的一些經(jīng)典試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿椭斫?快速抓住本質(zhì),那么概率模型的選取會(huì)變得輕而易舉.

3.3 符號(hào)語(yǔ)言的理解與運(yùn)用.作為具有選拔功能的高考應(yīng)用題,除了要求學(xué)生能充分理解生活中的通俗語(yǔ)言外,更注重?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言的理解、轉(zhuǎn)換及運(yùn)用.考生在考場(chǎng)上能否快速地在文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換決定了能否盡快地理解題意、明確問(wèn)題,從而更快地進(jìn)入解題氛圍.事實(shí)上,這恰恰是考生的軟肋,特別是在概率的應(yīng)用題中,每個(gè)符號(hào)均具有特殊的概率意義,所以更考驗(yàn)考生的理解轉(zhuǎn)化能力,但很多考生還是被考倒.可見(jiàn)符號(hào)語(yǔ)言的理解與運(yùn)用是本題的另一個(gè)大難點(diǎn).

其實(shí),本題的符號(hào)并不多,但很考驗(yàn)考生,例如題意中的：“記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù)”,其中“X”是離散型隨機(jī)變量,但“n”并不是隨機(jī)變量,也就是說(shuō)購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)易損零件并不是另一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),這樣才能更好地理解第二個(gè)問(wèn)題中的“P(X≤n)≥0.5”,用文字語(yǔ)言來(lái)轉(zhuǎn)化就是：共需更換的易損零件數(shù)不大于購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù)的概率大于或等于0.5,其中“n”只是一個(gè)普通的參變量,如果能突破這一點(diǎn),便能把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)第一問(wèn)已求解出的分布列進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用,所以只要正確理解符號(hào)意義,拿下前兩問(wèn)并不難．對(duì)于第三問(wèn),更是考驗(yàn)考生的符號(hào)語(yǔ)言運(yùn)用能力,如何把實(shí)際問(wèn)題抽象成符號(hào)語(yǔ)言,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型便是本問(wèn)的難點(diǎn)所在,只有引入離散型隨機(jī)變量“Y”來(lái)表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用才能突破難點(diǎn),可惜的是大部分考生無(wú)法做到,導(dǎo)致不能開(kāi)展解題.

當(dāng)然,本題的難點(diǎn)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止上述的三個(gè)方面,又如規(guī)范表述、靈活應(yīng)用思想方法進(jìn)行簡(jiǎn)便解答等,無(wú)不考驗(yàn)學(xué)生的核心素養(yǎng),所以剖析本題的難點(diǎn)所在以及突破難點(diǎn)的有效策略,對(duì)我們的復(fù)習(xí)備考乃至基礎(chǔ)年級(jí)的教學(xué)均具有極高的參考價(jià)值.

三、幾點(diǎn)復(fù)習(xí)建議

1.回歸基本概念概念是正確分析、解決問(wèn)題的基礎(chǔ).統(tǒng)計(jì)與概率涉及到大量的概念和專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ),作為新教材的新增內(nèi)容,有些概念學(xué)生不易理解,導(dǎo)致在解題時(shí)無(wú)法讀懂題意,無(wú)法開(kāi)展解題.所以復(fù)習(xí)時(shí)不能只將目光集中在具體的題目上,而應(yīng)注意把握有關(guān)概念的內(nèi)涵和本質(zhì),特別是每個(gè)概念的概率意義,從而做到概念清、方法熟,才能清晰理解問(wèn)題,快速準(zhǔn)確解答問(wèn)題.

2.落實(shí)作答的規(guī)范性,力爭(zhēng)零扣分概率與統(tǒng)計(jì)的解答題解題過(guò)程要求給出適當(dāng)?shù)奈淖终f(shuō)明,這就要求考生準(zhǔn)確使用教材中所學(xué)的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ),使用規(guī)范的符號(hào)語(yǔ)言,通順的文字語(yǔ)言以及清晰的圖形對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表述,切忌只列式求值或表達(dá)不規(guī)范、字跡不工整,這些非智力因素都會(huì)影響閱卷老師的“感情分”.因此平時(shí)要嚴(yán)格規(guī)范解題過(guò)程,注意防止關(guān)鍵詞的缺失,還要注意積累一些能潤(rùn)色解題過(guò)程的語(yǔ)言,如“依題意可得……”,“由圖可知……”,或?qū)㈩}干的一些關(guān)鍵語(yǔ)句“復(fù)制”到解題過(guò)程中.特別要積累典型概率題的解題步驟和表述方法(一般步驟如下).

第一步：設(shè)事件A、B,…或設(shè)隨機(jī)變量X、Y、...;

第二步：將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的積或和運(yùn)算,或與隨機(jī)變量的某個(gè)取值相對(duì)應(yīng).或分析隨機(jī)變量是否服從某種分布,將問(wèn)題化歸為某種概率模型;

第三步：選擇適當(dāng)公式,計(jì)算概率或其它特征量;

第四步：下結(jié)論,給問(wèn)題一個(gè)明確的答復(fù).

雖然答題沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)的格式,萬(wàn)能的模板,但上面表述方法頗具普遍性.

3.加強(qiáng)易錯(cuò)剖析,易混辨析解概率題出錯(cuò)最為根本的原因是概念模糊不清,概率模型互相混淆.我們注意到,廣東卷在2009年至2014年連續(xù)六年考查了超幾何分布或二項(xiàng)分布,但遺憾的是每年均有不少考生因張冠李戴而導(dǎo)致丟分.除了這兩個(gè)高考常考的易混模型、概念之外,我們知道,還有很多.例如“互斥”與“對(duì)立”、“互斥”與“相互獨(dú)立”、“發(fā)生了k次”與“恰好前k次發(fā)生”、“發(fā)生了k次”與“第k次才發(fā)生”、“有放回”和“不放回”、“有順序”與“無(wú)順序”,“一次性抽取”與“依次抽取”等等.所以在復(fù)習(xí)中,一定要利用好典型例題加強(qiáng)對(duì)易混淆概念和易混淆模型的辨析,及時(shí)糾正學(xué)生常見(jiàn)錯(cuò)誤.通過(guò)辨析、反思揭示問(wèn)題的本質(zhì),發(fā)展學(xué)生的識(shí)別能力,提高解題的正確率.

4.關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法概率是新教材中新增的內(nèi)容,其中蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想,例如或然與必然的思想方法、正難則反(互補(bǔ))思想、不等式與方程思想、分類(lèi)討論思想、整體思想等等,在概率解題中注重這些思想方法的滲透,對(duì)正確、簡(jiǎn)便解題具有十分重要的意義.