圓錐曲線易錯題案例剖析

王馨舸

【摘 要】高中數學學習中，圓錐曲線作為高考的重要考點之一，很多學生掌握起來相對困難。基于此，筆者在文中列出了三種具有代表性的易錯題，并對其例題進行分析，最后總結了幾類常用解題方法。

【關鍵詞】圓錐曲線；易錯題型；剖析

1不能充分利用概念定義（定義法、“設而不求”法）

例1.定長為3的線段AB的兩個端點在y=x2上移動，AB中點為M，求M到x軸的最短距離。

解析：此題有多種解法：①可直接利用拋物線設點，如設，設AB中點M（x0，y0），通過使用弦長公式以及中點公式可求出y0關于x0的函數表達式，再利用函數思想即可求出此題最短距離。②M到x軸的距離屬于“點線距離”，可以先行考慮M到準線的距離，使用定義法。通過兩種方法解題，可將其進行比較。

解法一：設，AB中點M（x0，y0）

由①可得

即

由②、③得

代入④可得

解法二：

總結：解法一通過列方程組，通過消元消除x1與x2，最終組成y0關于x0的函數，這是一種“設而不求”的解題方法。解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點M到x軸的距離轉化成其到準線之間的距離，利用梯形中位線性質，轉化為A、B到準線的距離之和，結合定義與“三角形中兩邊之和大于第三邊”的屬性，簡捷地求解出了結果，兩種方法可形成明顯的對比。

筆者在此將解圓錐曲線問題的定義法與“設而不求”的解題方法總結如下：

定義法：

（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1，r2=ed2。

（2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，r1-r2=2a，當r1>r2時，注意r2的最小值為c-a；第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應注意第二定義的應用，常常將半徑與“點到準線的距離”相互轉化。

2忽視隱含條件（韋達定理法）

例2.已知橢圓過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及準線從左到右依次交與A、B、C、D，設，（1）求；（2）求的最值。

解析：點A、D與B、C來自于“不同系統”，A、D交與準線，B、C處于橢圓之上。直接求解將過于復雜，可以將這些點連成的線段投影到x軸上，可得：

再使用韋達定理即可得到答案。

（韋達定理：一元二次方程中，兩根之和，兩根之積）

解：（1）橢圓中，

，左焦點

將，代入橢圓方程得：

設，

則

（2），

3多動點問題的解題思路不清（判別式法）

例3.已知橢圓和點，過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程。

解析：此題為軌跡問題，學生解題過程中遇到的主要難點是受多動點的困擾。解此類問題通常可使用通過參數法，第一步要做的是選參，想辦法將Q的橫、縱坐標利用參數來表達，達到消參的目的。由于點Q（x，y）的變化是由直線AB的變化引起的，自然可以選擇直線AB的斜率k作為參數，那么怎樣聯系起來呢？①利用點Q在直線AB之上；②利用題目中的條件：進行轉化。由A、B、P、Q四點共線，可得到：，建立x和k的關系，需要將AB的方程式代入橢圓方程，再使用韋達定理解題。

解：設，則由得：，解得：

設直線AB的方程為：，代入橢圓方程，消除y得到下列關于x的一元二次方程：

代入①，化簡可得

③式與聯立可消除k得到：，

在②式中，由，解得，結合③式可求得。則點Q的軌跡方程為：

3總結

由方程組進行消元，將產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到。其中，難點在于引參，活點在于用參，重點在于消參，此為幾何綜合問題求解的關鍵步驟。

參考文獻：

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