水柱法模擬平拋運動中粘滯力對水流初速度的影響及修正

王紹菊 張學艷 朱鏡紅 張芳芳 姚 斌

(云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650500)

水柱法模擬平拋運動中粘滯力對水流初速度的影響及修正

王紹菊 張學艷 朱鏡紅 張芳芳 姚 斌

(云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650500)

利用水平噴出的細水柱可直觀地顯示平拋運動軌跡，實驗簡單，可操作性強.現有的模擬實驗通常忽略了空氣阻力和粘滯力對水柱模擬平拋運動中的影響.在分析空氣阻力和粘滯力理論的基礎上，通過對水柱平拋實驗的測量和計算，獲得了粘滯力對水流初速度的影響，并求出了粘滯力影響的修正函數.

平拋運動 水柱法 粘滯力 修正函數

利用水柱模擬平拋運動的方法，能一次性描繪出平拋物體的運動軌跡，并能求得平拋物體運動的初速度，完全滿足教材中“研究平拋運動”實驗的要求[1].在該類實驗中，水從容器的出水口流出之前，由于流體之間以及水與容器之間的相對運動，將受到粘滯力[2]的作用，造成實驗中的初速度與理論上的初速度有所偏差.為了說明粘滯力對平拋運動中初速度的影響，本文將從理論分析和實驗分析的角度，比較水柱模擬平拋運動中實驗獲得的出水初速度與無粘滯力情況下的理論初速度，獲得相應的修正值和修正公式，為利用水柱模擬平拋運動的實驗分析提供理論參考.

1 實驗裝置

實驗原理如圖1所示.在容器下部開一小孔B，小孔B的線度與容器內水表面A至小孔所處深度h相比很小，且容器橫截面積較大，水在從小孔流出的過程中h幾乎保持不變，因此可認為，在實驗過程中從小孔B流出的初速度不變.

圖1 實驗原理圖

2 理論分析

2.1 空氣阻力的影響分析

實驗中水自孔口B流出，將受到重力和空氣阻力的作用.由于水流出孔口B之后以水柱的形狀在空中形成平拋軌跡，因此可把水柱看作很多個水滴所組成.于是，利用斯托克斯定律[3]可求出水滴所受的空氣阻力為

f=6πηvr=1.024×10-6N

(1)

其中η=1.81×10-5Pa·s(實驗時環境溫度20 ℃下的空氣粘滯系數)，v為實驗中水滴的運動速度(最大為3 m/s)，r=0.001 m(水滴的半徑).而水滴所受重力G為

(2)

其中ρ為水的密度1×103kg·m-3，g=10 m/s2.由此可得，水滴在空氣中受到的最大空氣阻力僅為水滴重力的2.4%.因此，在本實驗中，空氣阻力對于水柱的影響可以忽略不計，則水流出孔口B之后的運動可看作平拋運動.

2.2 粘滯力的影響分析

當將水看成理想流體時，則水流動過程中將不受粘滯力的影響，運用伯努利方程[4]

(3)

(p0為大氣壓，v理為小孔B處的出口速度)求出在深度為h的開孔處水流初速度理論值為

(4)

而在實際中，水從孔口B流出之前，由于流體之間的相對運動以及流體相對于容器的運動，水將受到粘滯力的作用，造成從孔口B流出的流速v測小于看作理想流體時的流速v理，將這個差值記為Δv=v理-v測.這個差值Δv即反映了水從孔口B流出之前受粘滯力的影響情況.

3 實驗方法及數據處理

本文基于流體連續性的特點用水代替金屬小球，用水柱模擬平拋物體運動，通過自制設備進行多次實驗，如圖1所示，水從B孔流出做平拋運動，使用平面鏡將水柱模擬的拋物軌跡投影到描圖板上.待拋出的軌跡穩定后迅速用鉛筆在坐標紙上沿著投影軌跡描圖.該實驗采用控制變量法，保證開孔大小及水密度不變的情況下，進行深度分別為5，7，9，10，12，14，16，17，18，20 cm的拋物軌跡描繪及初速度計算.

由于不能確定水滴在出口時在曲線中的位置，也就是說不能確定豎直方向初速度為零的點，因此在數據處理時，不能運用自由落體方程求解，則本文采用了殘缺軌跡[5]求平拋運動的初速度的方法，原理如圖2所示.

圖2 出口速度計算原理圖

在曲線上任取兩點A和B，則可列出相應的軌跡方程

(5)

則平拋運動的初速度可得

(6)

表1 出口初速度的測量值

注：上表數據計算中g=10 m/s2.

不同深度對應的出口初速度理論值可通過式(4)計算得出，如表2所示.

表2 出口初速度的理論值

實驗結果表明，初速度的理論值和實驗值之間確實有較明顯的差值，在空氣阻力忽略的情況下，水受到的粘滯力即為影響該差值的原因，差值Δv=v理-v測，為了更直觀地表明粘滯力對實驗的影響，本文作了Δv-h的關系研究，相關數據如表3所示.

表3 Δv-h修正數據

將Δv-h在5～20 cm范圍內進行了曲線擬合，如圖3所示.

圖3 Δv-h擬合曲線

4 結論

本文結合理論分析和實驗分析，得出在忽略空氣阻力的情況下，粘滯力對孔口B處水流速度的影響.實驗結果顯示，在開孔深度h為5 cm～20 cm范圍內，h越小，實驗中孔口B處的水流速度受粘滯力的影響越大.究其原因是由于當h越小時，水流元在出口處停留的時間就越長，因此所受粘滯力的影響就越大.分析圖3中的擬合曲線，可利用反比例函數描述粘滯力的影響，因此可得

對于本實驗裝置，通過擬合曲線可求出各常數分別為a=1.506，b=-0.872 9，c=0.746 7.

1 張大昌.普通高中課程標準實驗教科書必修2．北京：人民教育出版社，2004

2 章梓雄,董曾南.粘性流體力學.北京：清華大學出版社，2011

3 劉鶴年.流體力學(第2版).北京：中國建筑工業出版社，2004

4 靳鐵良.伯努利方程及其簡單推導.內江科技，2004, 25(6)：74～78

5 蔣守培.由殘缺軌跡求平拋運動的初速度.物理教師，2012(1)：33～34

6 羅憧乾.流體力學.北京：機械工業出版社，2000

7 潘路.對“水的平拋”的幾點釋疑.物理教師，2010，31(11)：38～40

8 羅春焱，羅德剛，李偉.有關平拋運動實驗中測初速度方法的探究式教學與反思.物理教師，2014(5)：26～27

王紹菊(1992- )，女，碩士研究生，主要從事物理教學研究.

姚斌(1980- )，男，博士，副教授，主要從事大學物理教學研究和電磁理論研究.

2016-10-10)