物理競賽中使用積分法求解感應電動勢一二

劉玉琴 宋善炎

(湖南師范大學物理與信息科學學院 湖南 長沙 410081)

物理競賽中使用積分法求解感應電動勢一二

劉玉琴 宋善炎

(湖南師范大學物理與信息科學學院 湖南 長沙 410081)

為提升物理競賽中學生運用積分法解決物理問題的能力，以感應電動勢的求解為例，提出了用積分法解題的一般思路.對于動生電動勢，先尋找動生電動勢微元，再通過對微元積分求解；對于感生電動勢，在已知感生電場表達式時，先求出感生電動勢微元，再對微元積分求解，也可先利用積分求出通過回路的磁通量，再根據法拉第電磁感應定律求解.

積分法 動生電動勢 感生電動勢

根據引起磁通量變化的原因，感應電動勢有動生電動勢和感生電動勢之分.當磁場B不隨時間變化而閉合電路的整體或局部在運動時，回路中存在動生電動勢，其在數值上等于非靜電力洛倫茲力移動單位正電荷所做的功；當磁場B隨時間變化而閉合電路任一部分都不動時，回路中存在感生電動勢，其在數值上等于非靜電力感生電場力移動單位正電荷沿回路一周所做的功.若磁場B隨時間變化的同時閉合電路的整體或局部也在磁場中運動，此時回路中的電動勢為動生電動勢和感生電動勢的疊加.

對于感應電動勢的計算，高中教材介紹了通過法拉第電磁感應定律進行求解的方法，求解工具為簡單的初等數學知識.而在物理競賽的一些情景中，難以通過初等數學工具求解，需要借助高等數學中的積分法進行求解，下面通過一些例題來說明積分方法的應用.

1 動生電動勢的計算

在高中階段，動生電動勢的常用計算公式E=Blvsinθ，當導體上各點的速度不一樣時，若各點的線速度是均勻變化的，我們可以利用平均速度來求解動生電動勢，如例1.但對于非均勻變化的情況，用初等數學知識難以解決，需利用

進行求解，如例2和例3.

【例1】如圖1所示的金屬桿AB在垂直于磁場的平面內以角速度ω繞O軸勻速轉動，求A，B間的動生電動勢[1].

圖1 例1題圖

dε=(v×B)·dl=Bωldl

則

則

圖2 例2題圖

解答：取金屬線圈上一微元dl，其產生的感應電動勢為

dε=(v×B)·dl=Bωrdlsinα

其中

r=Rsinαdl=Rdα

則

dε=Bω(Rsinα)sinαRdα=BωR2sin2αdα

故AM上的感應電動勢為

AC上的感應電動勢為

此外，在有些問題中桿的運動方向、桿的軸線方向都和B不垂直，而且桿上各點的速度又不同，此時用積分的方法求解動生電動勢會更簡單，以例3為例進行說明.

【例3】如圖3所示的直角坐標系中，有一絕緣圓錐體，半錐角為θ，軸線沿z軸方向，頂點在原點處.有一條長為l的細金屬絲OP固定在圓錐體的側面上，與圓錐體的同一條母線重合.空間存在著沿x軸正方向的勻強磁場B.試討論當圓錐體沿如圖所示方向做角速度為ω的勻角速轉動時，OP上感應電動勢的情況[1].

圖3 例3題圖

解答：由右手螺旋定則，容易判斷O點和P點電勢的高低.由于桿上各點的速度各不相同，桿的運動方向并不總是與B垂直，桿的軸線方向與B不垂直，因此考慮利用積分方法進行求解.

當P點的坐標x為正時，P點的電勢都高于O點的電勢；當P點的坐標x為負時，P點的電勢都低于O點的電勢.

(1)當P點的y坐標為零，即OP在xOz平面時，此時OP上的感應電動勢最大.

在OP上取一微元dl，其上的動生電動勢為

dε=(v×B)·dl=ωlsinθBcosθdl

則OP上動生電動勢的大小為

(2)當P點運動到某一位置(圖4)，P點的x和y坐標都大于零，QP與x軸的夾角為α時，在OP上取一微元dl，其上的動生電動勢為

圖4 情況(2)分析圖

即OP上動生電動勢的大小為

總之，在使用積分法求解動生電動勢時，只要選取導體微元dl，將其對應的動生電動勢

dε=(v×B)·dl=vBsinθcosαdl

2 感生電動勢的計算

其中eφ為E感方向的單位矢量，與r垂直.

圖5 無限長載流螺線管分析

圖6 例4題圖

在ab上距離O點為r(0≤r≤R)處取一長度微元dl，其感應電動勢為dε，則

代入相關數據

進行積分運算，有

【例5】若在例4的基礎上，將導體棒ab延伸到螺線管外，并使得ab=bc=R，如圖7所示，求此時導體棒ac的感應電動勢εac[1].

圖7 例5題圖

解答：導體棒ac的ab段處于磁場區域內，bc段處于磁場區域外，其對應的感生電場的表達式不同，仍可利用積分的方法分別求出兩段的感生電動勢再進行求和.由例4知，對ab段

同理對bc段，有

其中ds=dlcosα,ds=rdα，則

故

順便提一下，由于E感與r垂直，Oa,Ob,Oc段感應電動勢為零，在平時的學習中，我們常常利用法拉第電磁感應定律求出回路Oab和回路Obc的感應電動勢從而來求ab和bc段的感生電動勢，但養成利用積分思維來解決物理問題的習慣對物理競賽學生順利學習力學電磁學部分的其他競賽內容來講非常重要，而且有利于提升學生的思維層次及問題解決能力.

【例6】如圖8所示，無線長直導線載有交變電流I=I0sinωt,并與矩形線圈共面，設t=0時電流方向向上，試計算矩形線圈上的感應電動勢[3].

圖8 例6題圖

解答：由于矩形線圈不同位置的磁場強度大小不一樣，因此，在計算矩形線圈的磁通量時應采用積分的方法，再利用法拉第電磁感應定律求出感應電動勢.

在距離導線x處取一面積微元，則磁通量

dΦ=B·dS=Bldx

其中

故矩形線圈的磁通量

由法拉第電磁感應定律有

1 張大同.物理競賽教程(高三年級)(第4版).上海：華東師范大學出版社，2012.49～52

2 賈啟民，鄭永令，陳暨耀.電磁學(第3版).北京：高等教育出版社，2010.279

3 宋善炎.競賽物理.長沙：湖南師范大學出版社，2013.272

劉玉琴(1992- )，女，在讀碩士研究生，研究方向為課程與教學論專業.

指導教師：宋善炎(1964- )，男，博士，教授，研究方向為物理課程與教學論.

2016-10-02)