均質三角形邊框剛體對其質心軸的轉動慣量的簡明推導

于志明

(連云港師范高等?？茖W校物理系 江蘇 連云港 222006)

均質三角形邊框剛體對其質心軸的轉動慣量的簡明推導

于志明

(連云港師范高等?？茖W校物理系 江蘇 連云港 222006)

利用任意三角形的邊長與頂點坐標的關系,直接推出任意三角形邊框的質心到各邊中點的距離與三角形各邊邊長的關系,從而方便地求得任意均質三角形邊框剛體對其質心軸的轉動慣量.

轉動慣量 三角形邊框 質心

剛體轉動慣量的計算是剛體力學研究的重要內容.文獻[1,2]研究了任意均質三角形邊框剛體對過質心且和三角形所在平面垂直軸的轉動慣量的計算問題.文獻[1]利用幾何方法確定任意均質三角形邊框剛體的質心位置和質心到各邊中點的距離,然后利用均質細桿對其中心的轉動慣量和平行軸定理得到任意均質三角形邊框剛體對其質心軸的轉動慣量的公式.文獻[2]認為文獻[1]中推導的過程比較繁瑣,又給出了一種新的推導方法.我們仔細閱讀文獻[2]后發現,其中推導的過程也比較繁瑣,還要用到三角形邊框的中點形成的內切圓,還要應用從《數學手冊》中查出的有關關系式.我們認為在計算任意均質三角形邊框剛體對其質心軸的轉動慣量時,最重要的是計算其質心到三邊中點的距離與其邊長的關系,而利用三角形的邊長與頂點的坐標的關系,可以方便快捷地解決這一問題.本文推導的方法思路清晰,計算簡單,對于處理其他任意多邊形邊框剛體對其質心的轉動慣量具有啟發意義.

1 三角形的邊長和頂點坐標的關系

如圖1所示,設任意三角形(以下記為△ABC)的3個頂點分別為A，B，C,3邊的邊長分別為a,b,c,3個夾角分別為α,β,γ.建立如圖所示的直角坐標系xOy,設三角形的3個頂點A,B,C的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3),則三角形3條邊的邊長與3個頂點的坐標的關系為

(1)

(2)

(3)

由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosγ

(4)

b2=a2+c2-2accosα

(5)

c2=a2+b2-2abcosβ

(6)

圖1 三角形邊長和頂點坐標的關系分析圖

如果分別從△ABC的3個頂點起，沿兩邊引兩個邊矢量，則由矢量的標乘得

(x2-x1)(x3-x1)+

(y2-y1)(y3-y1)=accosα

(7)

(x1-x2)(x3-x2)+

(y1-y2)(y3-y2)=abcosβ

(8)

(x1-x3)(x2-x3)+

(y1-y3)(y2-y3)=bccosγ

(9)

由式(4)～(9)得

(10)

(11)

(12)

式(1)～(3)和式(10)～(12)建立了△ABC邊長和頂點的坐標的關系,利用它們我們就能解決△ABC的質心到其3邊中點的距離與三角形的邊長的關系問題.

2 △ABC的質心到其3邊中點的距離與其邊長的關系

由圖1可知,△ABC的3邊AB，BC，CA的中點坐標分別為

(13)

(14)

(15)

而由△ABC的3邊組成的質點系的質心坐標可表示為

(16)

(17)

將式(13)～(15)代入式(16)、(17)得

(18)

(19)

△ABC的3邊組成的質點系的質心到其3邊AB，BC，CA中點距離的平方分別為

(20)

(21)

(22)

將式(13)、(14)、(15)、(18)、(19)分別代入式(20)～(22),再應用式(1)～(3)和式(10)～(12)經化簡可得

(23)

(24)

(25)

式(23)～(25)就是我們得到的任意△ABC的質心到其3邊中點的距離與其邊長的關系式.

3 三角形邊框剛體對其質心軸的轉動慣量的計算

設△ABC各邊單位長度的質量為λ,利用大家熟知的均質細桿對過其中心軸的轉動慣量和平行軸定理,可得△ABC的3邊組成的質點系對與該三角形平面垂直且過其質心的軸的轉動慣量為

(26)

1 周國全,徐富斌.均質邊框三角形剛體繞質心軸的轉動慣量公式.大學物理,2012,31(12):8～9

2 李力.簡捷推導均質三角形邊框剛體繞質心軸的轉動慣量.大學物理,2013,32(5):19

Simple Derivation on the Rotation Inertia of a Homogeneous Triangular Frame Rigid Body to the Axis through Its Mass Center

Yu Zhiming

(Department of Physics, Lianyungang Teachers College, Lianyungang, Jiangsu 222006)

Using the relationships between the side lengths and the coordinates of the triangle points, the distances from the mass center of the triangle frame to the midpoints of each side can be deduced directly. The rotation inertia of the rigid triangle frame about the axis through its mass center is obtained very briefly.

rotation inertia; triangle frame; mass center

于志明(1960- )，男，教授，主要從事大學物理的教學和研究工作.

2016-10-18)