魔方與數學

余智麒

摘 要 數學知識和數學思想可以滲透到我們日常生活中的各個方面，甚至是玩樂和游戲中都蘊藏著非常高深的數學思想，魔方正是趣味數學的一種具體體現。本文對魔方進行簡單介紹的基礎上，重點分析了其中所包含的數學思想和數學知識，最后對我們能從魔方中學習到的數學基本能力進行了介紹。

關鍵詞 魔方 數學 對稱

中圖分類號：O152.8 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.12.014

Abstract Mathematical knowledge and mathematical thinking can be penetrated into all aspects of our daily lives， and even the fun and games are bears very advanced mathematics thought， cube is a concrete manifestation of interesting mathematics. In this paper， based on the brief introduction on the focus of one of the cube， the mathematics thought and mathematics knowledge， finally we can learn from the ability of basic mathematical cube are introduced.

Keywords magic； mathematics； symmetric

0 引言

魔方最初是由匈牙利的厄爾諾·魯比克在1974年最初發明的 ，當時他所發明的魔方是三階魔方，所謂的三階魔方也就是指魔方的每個棱有三個方塊組成，中心由六個方塊組成，整個一有魔方一共有12個棱，8個角塊。魔方的各個面如圖1所示：

魔方復原的方法已經得到了解決，而且隨著魔友越來越多，解法也層出不窮。那么復原一個魔方最少的步驟（“上帝之數”）是多少呢？這個問題困擾了科學家幾十年，2010年美國工程師魔方復原的方法已經得到了解決，其結果為20，本文討論的重點不是上帝魔方復原的方法，而是魔方中所體現的數學問題，以及學習所需要的數學基本能力。

1 魔方中的數學問題

1.1 魔方中的面對稱、直線對稱和中心對稱

所謂鏡面對稱就是指如果一個集合體被分為兩部分，其中一部分是另外一部分關于所給平面的鏡面映像，則稱該集合體為平面對稱，也稱為鏡面對稱。

假如一個集合體上所有的點是關于某一直線對稱的，那么該幾何體便是關于直線對稱的，那么這條直線就稱為該幾何體的二階對稱軸。假如一個幾何體具有二次對稱軸，那么該幾何體在旋轉后能夠與自身重合。由此可以推出，如果幾何體圍繞對稱軸旋轉后能夠與自身重合，則我們稱該直線為該幾何體為n階對稱軸。

所謂點對稱和中心對稱也是對稱中最為主要的一種對稱類型，例如線段AB被點O平分，那么我們稱點A，B關于點O中心對稱，假如一個幾何體中所有的點能夠被 點O平分，那么我們稱該幾何體關于點O中心對稱，O被稱為對稱中心。

下面我就魔方中所包含的對稱進行分析。

圖2所示，圖（a）繞旋轉軸旋轉90度、180度、270度、360度后卻不改變其坐標，同理圖（b）也可以圍繞旋轉軸轉動180度、360度，圖（c）可以繞旋轉軸旋轉120度、240度、360度，那么圖（a）、圖（b）、圖（c）則分別稱為4階對稱軸、2階對稱軸和3階對稱軸。由于正方體中都可以包含上文所說的對稱性，因此，3具有階正方體的魔方同時具備2階、3階和4階對稱性，因此，3階魔方具有其它幾何體所不具備的良好對稱性。

1.2 魔方中的排列組合原理

根據排列組合公式中的加法原理和乘法原理，三階魔方的狀態一共有種狀態。也就是說三階魔方除過中心 6個固定不變的方塊外，剩下的20個方塊中，有8個方塊放在8個角位置，共有 8！種方法，每個角塊有三種方向不同的顏色，因此共有8！€椎？次方種排列，那么，12個棱塊就共有12！€？的12次方種排列。但是魔方由于在 還原的過程中不能夠將其它方塊不動的前提下，單獨改變某一方塊的方向，也不能之改變某一個棱角的方向，因此，要除去3€？€？。

1.3 魔方中的其他數學問題

例如筆者在某一數學雜志上看到如下一道題目：

如圖3由27個方塊組成的魔方，當轉動中間層EEIGG，-FF，HHI為a個角度后，那么該魔方的表面積最大值是多少？要解決這個問題，可以從以下方面入手：

首先，我們觀察魔方，這個魔方一共有27個立方體，它的表面積假如是54，如果將其中間層轉動角度a后，當a=45度時，那么其多出的面積是最多的，那么由此可發現，多出的部分正好是一些等腰三角形，并且這些三角形全等，因此我們可以猜想這時魔方的表面積最大。

如果我們從正視圖入手，圖4就為兩個中心重合的正方形，其邊長為4，當將其轉動時，則邊AD⊥BC，邊AD=，DE=，因此，

2 從魔方中能學到的數學能力

2.1 空間想象能力

魔方能夠增強學生的空間觀念，例如我們可以拿到一個魔方將其上下、左右進行不多方向和不同角度的轉動，也可以按照空間坐標軸進行順時針和逆時針轉動，在轉動過程中將其用符號或者圖形語言記錄下來，然后作為魔方還原過稱的參考依據，從而增強了學生的空間想象能力。魔方被比克教授發明的直接目的就是為了增強學生的空間想象能力的一種教學工具。我們在學習立體幾何時首先要能夠在自己的頭腦中構建出立體圖形，能夠將抽象的數學語言具體化和直觀化。因此，魔方作為一種典型的立體幾何圖形，在對其進行復原時某些面不能夠被直觀地觀察到，這時就需要相應的空間想象能力，在頭腦中將圖形進行分解和組合，從而增強了學習者的空間想象能力。從另一個方面講，學習魔方公式需要學習者從平面圖形開始，那么這樣就能夠鍛煉學習者將平面圖形和空間立體圖形進行反復比較，從平面圖形想象出立體圖形，以空間的立體對圖形的點、線、面進行研究。

2.2 抽像概括能力

所謂的抽象概括能力就是指學習者能夠對現實的客觀世界進行積極探索，通過現象研究本質，并且能夠將發現的問題用于解決新的問題和做出新的判斷的能力，因此，抽象概括能力具體來將就是發現本質和做出判斷。

前文提到3階魔方共有26個小正方體組成，但是其變換可達到4.3€？0種，人們多魔方的復原方法進行積極研究，已經發現了多種復原方法，但是每一種復原方法都必須遵循確定的數學公式和一定的原則，而這些方法都是通過盲解的方式鉆研出來的。所謂盲解就是指復原魔方者將眼睛蒙住將事先標號的棱、角快憑借自己的記憶力進行復原。而這種盲解的方式就像我們日常解數學提一樣，需要遵循一定的公式和基本定理以及基本原則進行，這一過程可以使得我們從魔方的變換中抽線出其本質規律。因此，這種反復不斷的抽象歸納過程以及不斷的做出新的判斷的過程，從而訓練了學習數學必須具備的抽象概括能力。

2.3 推理論證能力

數學中的推理論證能力就是要求學習者根據自己所掌握的數學知識和正確的數學命題來論證另一數學命題的真、假性，這種推理論證的過程就需要歸納法、類比法和演繹法。

當厄爾諾·魯比克在發明了三階魔方后，在不長的時間內他又發明了二階魔方和高階魔方，直到當代，魔方專家已經發明出了最高的7階魔方，但是對于初學者來說一般都是從三階魔方開始，而三階魔方的學習必須掌握較多的復原公式以及基本的復原原則，通過這些公式和原則的學習，我們就能夠將魔方逐漸推廣到高階魔方的復原，而事實上其它高級魔方復原的基本方法都是從三級魔方的推廣過程中得到的，那么我們在學習了三級魔方的公式和原則的基礎上，想要學習高階魔方就需要不斷地推理和論證，這樣逐漸對數學學習所要求的歸納、類比、演繹的基本能力進行鍛煉，從而提高學習者的推理論證能力。

參考文獻

[1] 秦鴻翼，何傳華.魔方，數學趣味的縮影[J].大學指南，2011（4）.

[2] 鄭燕.關于初中“魔方與數學”選修課程的設置與實施研究[D].首都師范大學，2008.

[3] 段芳.淺析三界魔方中的數學因素[J].新課程學習：學術教育，2011（7）.