用波函數和Excel分析2016年高考物理試題“振動與波”問題幾例

滕保麗

(豐縣民族中學,江蘇 徐州 221700)

用波函數和Excel分析2016年高考物理試題“振動與波”問題幾例

滕保麗

(豐縣民族中學,江蘇 徐州 221700)

關于“振動與波”的高考題,一般是選擇題,對于選擇題,高考試卷的答案只有結果沒有過程,而參考書或網上的“解析”,又往往或語焉不詳,或不甚準確．因為關于“振動與波”的高考題,要講清楚,往往要畫圖像,而徒手畫圖,又欠缺準確性,學生有時懷疑:是這樣的嗎?要畫準確的圖像,可以用Excel作圖．要用Excel作圖,就要先寫出波函數．本文就是舉例說明用波函數和Excel研究2016年高考物理試題“振動與波”問題．

1 波函數的定義

為了定量地描述介質中波動的情況,必需求得介質中各質元的位移與該質元所處的平衡位置及時間的定量關系,這種定量關系就是波的表達式,也叫做波函數(wave function)．

2 簡諧波函數的推導

設有一波前為平面的簡諧波,在均勻介質中沿x軸正方向傳播,波速為v．由于這是一種平面波,所以在與x軸垂直的平面上,各點的振動情況是一樣的．所以只要討論x軸上各點的振動,就可以知道空間中各點的情況．

以O點為波源,設該處質元做簡諧振動,其位移y與時間t的關系為

y=Acosωt.

式中A為振幅,ω為角頻率．考察波線Ox上的任一點P,它離O點的距離為x,當波源O的振動傳到P點時,P點的質元將重復O點的質元的振動,角頻率也相同,但振動的相位要落后于O點．因為O點的振動傳到P點需要時間xv,所以P處質元在時刻t的振動相位和O點質元在時刻t′=t-xv的振動相位一樣,即其相位為

ωt′=ωt-xv.

由于平面簡諧波傳播時各質元的振幅相等,則P處質元在時刻t的位移為

y=Acosωt-xv.

這就是平面簡諧波的波函數．因為ω=2πT,v=λT,所以波函數也可以寫為

y=Acos2πtT-xλ.

當x取某一確定值時,波函數便是某質點的振動方程.例如x=0,y=Acosωt便是振源O的振動方程．據此可以畫出該質點的振動圖像．

當t取某一確定值時,波函數便是某時刻的波動方程.例如t=T,y=Acos2πλx便是時刻t=T的波動函數方程．據此可以畫出該時刻的波的圖像．

波函數也可以用正弦函數,與余弦函數沒有本質的區別．

例1.[2016年高考全國3卷第34(1)題]由波源S形成的簡諧橫波在均勻介質中向左、右傳播．波源振動的頻率為20Hz,波速為16m/s．已知介質中P、Q兩質點位于波源S的兩側,且P、Q和S的平衡位置在一條直線上,P、Q的平衡位置到S的平衡位置之間的距離分別為15.8m、14.6m,P、Q開始振動后,下列判斷正確的是________．

(A)P、Q兩質點運動的方向始終相同.

(B)P、Q兩質點運動的方向始終相反.

(C) 當S恰好通過平衡位置時,P、Q兩點也正好通過平衡位置.

(D) 當S恰好通過平衡位置向上運動時,P在波峰.

(E) 當S恰好通過平衡位置向下運動時,Q在波峰.

原題解析：根據題意信息T=1f=0.05s,v=16m/s,根據v=λT=λf,得波長為λ=vT=0.8m,找P點關于S點的對稱點P′,根據對稱性可知P′和P的振動情況完全相同,P′、Q兩點相距Δx=32λ,為半波長的整數倍,所以兩點為反相點,故P′、Q兩點振動方向始終相反,則P、Q兩點振動方向始終相反,選項(A)錯誤，(B)正確;P點距離S點xp=1934λ,當S恰好通過平衡位置向上振動時,P點在波峰,Q點相距S點xQ=1814λ,當S恰好通過平衡位置向下振動時,Q點在波峰,選項(D)、(E)正確．

易錯點：P、Q的平衡位置之間的距離為15.8 m+14.6 m=20.4m,為20.40.8=2512個波長,所以P、Q兩質點運動的方向始終相反,則選項(B)正確,選項(A)錯誤．錯誤原因是P、Q在波源的兩側而不是同側．

用波函數和圖像分析.

當S恰好通過平衡位置向上運動時,波函數為

y=sin[2π×(x+1.6)/0.8] (-1.6≤x<0)，

y=-sin(2π×x/0.8) (0≤x≤1.6).

波的圖像如圖1.

圖1

從圖像可以看出,P設x=1.4,134λ位置與xp=1934λ相同 在波峰．

當S恰好通過平衡位置向下運動時,波函數為

y=-sin[2π×(x+1.6)/0.8](-1.6≤x<0),

y=sin(2π×x/0.8) (0≤x≤1.6).

波的圖像如圖2.

圖2

從圖像可以看出,Q設x=-1,因為114λ位置與xQ=1814λ同相 在波峰．

從以上兩個圖像都可以看出,P、Q兩質點運動的方向始終相反而不是相同,選項(A)錯誤,(B)正確，并且當S恰好通過平衡位置時,P、Q兩點都不通過平衡位置,選項(C)錯誤．故正確選項為(B)、(D)、(E).

例2.(上海物理卷第20題)甲、乙兩列橫波在同一介質中分別從波源M、N兩點沿x軸相向傳播,波速為2m/s,振幅相同;某時刻的圖像如圖3所示．則

圖3

(A) 甲、乙兩波的起振方向相反.

(B) 甲、乙兩波的頻率之比為3∶2.

(C) 再經過3s,平衡位置在x=7m處的質點振動方向向下.

(D) 再經過3s,兩波源間(不含波源)有5個質點位移為0.

原題解析： 據題意,甲波向右傳播,乙波向左傳播,甲波起振方向都向下，乙波起振方向都向上,選項(A)正確;從圖可以看出,λ甲=4m,λ乙=6m;根據v=λf得f甲=0.5Hz,f乙=13Hz,所以甲、乙兩波的頻率之比為3∶2,選項(B)正確;再經過3s,甲波波谷到達x=7m處,乙波是平衡位置與波峰之間某振動到達x=7m處,所以,該質點應該向上振動,選項(C)錯誤;此時,除了波源還有x=9m,x=6-7m,x=6m,x=5-6m,x=2-3m處質點位移為0,選項(D)正確．正確選項為(A)、(B)、(D).

用波函數和圖像分析.

再經過3s時的波函數(M-N之間即0-12之間)為:

y甲=sin(2π×x/4).(0≤x≤8)

y乙=sin(2π×x/6).(0≤x≤12)

y=y甲+y乙.(0≤x≤12)

再經過3s時的波形圖像(M-N之間即0-12之間)如圖4所示.

圖4

從圖像可以看出,再經過3s,平衡位置在x=7m處的質點在平衡位置以下．

從以上圖像還可以看出,再經過3s,兩波源間(不含波源)有5個質點位移為0(y與x軸的交點),分別為x=9m,x=7-7.5m,x=6m,x=4.5-5m,x=2-2.5m處,(有2處與“解析”不同),所以選項(D)正確．

為了進一步理解x=7處質點的運動趨勢,筆者作出再過0.5s后的波形圖像,先寫出波函數．

因為Δx=vΔt=2×0.5m=1m,所以甲波向右傳播1m,乙波向左傳播1m,因此

y甲=sin[2π×(x-1)/4].(0≤x≤9)

y乙=sin[2π×(x+1)/6],(0≤x≤12)

再過0.5s后的波形圖像如圖5所示.

圖5

兩個圖像對比可以得到,在t=3s時,平衡位置為x=7的質點是向上運動的．這里需要指出的是,在兩個波合成的波中,不能像一個波那樣,按照“上坡下行,下坡上行”的土辦法判斷質點的運動方向了．正確選項為(A)、(B)、(D).

圖6

例3.(天津理綜物理第12題)在均勻介質中坐標原點O處有一波源做簡諧運動,其表達式為y=5sinπ2t,它在介質中形成的簡諧橫波沿x軸正方向傳播,某時刻波剛好傳播到x=12m處,波形圖像如圖6所示,則

(A) 此后再經過6s該波傳播到x=24m處.

(B)M點在此后第3s末的振動方向沿y軸正方向.

(C) 波源開始振動時的運動方向沿y軸負方向.

(D) 此后M點第一次到達y=-3m處所需時間是2s.

原題解析： 波的周期T=2πω=2ππ2s=4s,波長λ=8m,波速v=λT=2m/s,則再經過6s,波傳播的距離為x=vt=12m,故該波傳到x=24m處,選項(A)正確;M點在此時振動方向向下,則第3s末,即經過了0.75T,該點的振動方向沿y軸正向,選項(B)正確;因波傳到x=12m處時,(波前)質點向y軸正向振動,故波源開始振動時的運動方向沿y軸正向,選項(C)錯;M點第一次到達y=-3cm位置時,振動的時間為T4=1s,選項(D)錯誤，故正確選項為(A)、(B).

用波函數和圖像分析.

某時刻(t=0)的波函數為

y0=5×sin(π×x/4),(0≤x≤12)

t=3s時刻的波函數為

y3=5×sin[(π×2×(x/8-3/4)].(0≤x≤24)

t=0(實線)和t=3s(虛線)的波形圖如圖7所示.

圖7

從圖像可以看出,M點在此后第3s末的位置約在y=4m處,其振動方向沿y軸正方向(下坡上行).

M點的振動方程為

y=5sin2πT(t+t0)=5sinπ2(t+t0).

因為當t=0時,y0=3,所以sinπ2t0=35,π2t0=37°或143°,即0.65π或0.79π,則t0=1.3s或1.58s.

所以振動方程為

y=5×sin[2π×(t+1.3)/4]或

y=5×sin[2π×(t+1.6)/4].

M點的振動圖像分別如圖8、9所示.

圖8

從圖8可以看出,此后M點第一次到達y=-3m處所需時間約是2s,但是此圖像表明,在t=0s時刻,M點是向上運動的,而原題,M點是向下運動的(見題目圖6波形圖)，所以此種情況不符合題意．

圖9

從圖9可以看出,t=0時，M點是向下運動的,此后M點第1次到達y=-3m處所需時間約是0.8s,而不是2s.

如果M點從y=3(t=0)開始不是向y軸負方向運動,而是向y軸正方向運動，則結果是2s到達y=-3 m．看來,所謂錯誤選項不是隨意設置的,是根據考生的易錯點設置的．正確選項為(A)、(B).

2016-08-18)