圓錐擺運(yùn)動(dòng)中的不變量

鄧?guó)櫽?楊習(xí)志

(1. 云南省昆明市宜良縣第二中學(xué)，云南 昆明 650000；2. 昆明市第一中學(xué) 云南 昆明 650000)

·問題討論·

圓錐擺運(yùn)動(dòng)中的不變量

鄧?guó)櫽?楊習(xí)志2

(1. 云南省昆明市宜良縣第二中學(xué)，云南 昆明 650000；2. 昆明市第一中學(xué) 云南 昆明 650000)

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),在圓錐擺問題中,存在一個(gè)不變的量ω2h,即無論是什么樣的圓錐擺模型,其角速度的平方與其擺高的乘積總是一定值,只要抓住這一不變量,就可以快速而輕松地解決大部分的圓錐擺問題．

圓錐擺； 不變量； 旋轉(zhuǎn)秋千

在高中物理教學(xué)中,“圓錐擺”模型是較為常見和常考的問題之一.由于圓錐擺問題的多變性,使得學(xué)生在解答此類題型時(shí)總是難以把握．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),在圓錐擺問題中存在一個(gè)不變量,只要抓住這個(gè)不變量,就可以快速而輕松地解決大部分圓錐擺問題．

1 圓錐擺中的不變量

如圖1所示是一個(gè)正立的圓錐擺模型,擺長(zhǎng)為L(zhǎng),下端拴著質(zhì)量為m的小球,在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).當(dāng)繩子與豎直方向成θ角時(shí),其受力情況如圖2所示,運(yùn)動(dòng)方程為mgtanθ=mω2r,其中r=Lsinθ,代入并整理后可得ω2Lcosθ=g,令Lcosθ=h,則有ω2h=g,其中h為圓錐擺的擺高,即圓錐的錐高.可以看出ω2h是一個(gè)與擺長(zhǎng)L、小球質(zhì)量m無關(guān),只與重力加速度有關(guān)的常量．

圖1

圖2

如圖3所示是一個(gè)倒立的圓錐擺模型,質(zhì)量為m的小球在光滑漏斗中的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其受力情況如圖4所示,則其運(yùn)動(dòng)方程為mgtanθ=mω2r,其中r=htanθ,代入并整理后可得ω2h=g,故ω2h是一個(gè)只與重力加速度g有關(guān)的定值．由以上分析可以看出無論是正立的圓錐擺還是倒立的圓錐擺,其ω2h均是一個(gè)只與重力加速度g有關(guān)的定值．故ω2h即為圓錐擺的不變量．值得注意的是,在漏斗模型中,由于角度θ已經(jīng)固定,導(dǎo)致其向心力F=mgtanθ, 支持力N=mgcosθ,向心加速度a=gtanθ等均保持不變．

圖3

圖4

2 巧用圓錐擺中的不變量解題

圖5

例1.如圖5所示,兩個(gè)質(zhì)量不同的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用長(zhǎng)度不等的細(xì)線拴在同一點(diǎn),并在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則它們的

(A) 周期相同. (B) 線速度相同.

(C) 角速度相同. (D) 向心加速度相同.

解析:由不變量ω2h可知,由于A、B兩個(gè)小球具有相同的擺高h(yuǎn),故它們具有相同的角速度,又rA>rB,故由T=2πω，v=rω及a向=ω2r可判斷選項(xiàng)(A)、(C)正確,(B)、(D)錯(cuò)誤．

圖6

例2.如圖6所示,兩個(gè)質(zhì)量不同的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用長(zhǎng)度不等的細(xì)線拴在同一點(diǎn),并在水平面內(nèi)的不同高度處做勻速圓周運(yùn)動(dòng),它們做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同,則下列說法正確的是

(A)ωA>ωB. (B)vA>vB.

(C)TA=TB. (D)aA

解析:由不變量ω2h可知,由于hAωB,又rA=rB,由T=2πω，v=rω及a向=ω2r可判斷選項(xiàng)(A)、(B)正確,(C)、(D)錯(cuò)誤．

圖7

例3.如圖7所示,兩個(gè)質(zhì)量相同的小球在光滑漏斗的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則下列判斷正確的是

(A)ωA>ωB.

(B)vA>vB.

(C)TA=TB.

(D)aA

解析:由不變量ω2h可知,由于hA>hB,故ωA<ωB,即TA>TB,又aA=aB,rA>rB,由a=v2r可知vA>vB,故選項(xiàng)(B)正確,(A)、(C)、(D)錯(cuò)誤．

3 圓錐擺模型的變形及其不變量的運(yùn)用

圖8

例4.如圖8所示,“旋轉(zhuǎn)秋千”中可視為質(zhì)點(diǎn)的兩個(gè)座椅A、B質(zhì)量相等,通過相同長(zhǎng)度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上．不考慮空氣阻力的影響,當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),下列說法正確的是

(A)A的速度比B的大.

(B)A與B的向心加速度大小相等.

(C) 懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等.

(D) 懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小.

分析:此題可簡(jiǎn)化成如圖9所示的模型,與其他圓錐擺所不同的是此題中的兩個(gè)物體懸掛于不同的點(diǎn),但均不是各自圓錐擺的頂點(diǎn),如圖10所示,可將擺線進(jìn)行延長(zhǎng)與轉(zhuǎn)軸相交,交點(diǎn)OA和OB即為各自圓錐擺的“頂點(diǎn)”．設(shè)A、B的懸掛點(diǎn)到軸心的距離分別為xA和xB,擺線長(zhǎng)均為L(zhǎng),擺角分別為θA和θB．

圖9

圖10

以A為研究對(duì)象,由幾何關(guān)系得,物體A做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為rA=xA+LsinθA,故其運(yùn)動(dòng)方程為

mgtanθA=mωA2(xA+LsinθA)，

即gωA2=xAtanθA+LcosθA.

又hA=xAtanθA+LcosθA,故有hA=gωA2,即ωA2hA=g,可以看出在旋轉(zhuǎn)秋千的問題中,ω2h=g仍是一個(gè)不變量,同理可得ωB2hB=g,考慮到ωA=ωB,故hA=hB,即同一旋轉(zhuǎn)秋千上的擺高均相同．

解析:由不變量ω2h可知,由于ωA=ωB,故有hA=hB,假設(shè)A、B兩懸線與豎直方向的夾角相同,則如圖11所示可以看出,hB必定大于hA,因此為保證hA=hB,如圖12所示,則必定有θA<θB,故rA

圖11

圖12

另外,在旋轉(zhuǎn)秋千問題中,當(dāng)擺長(zhǎng)不相等時(shí),若LALB,且懸點(diǎn)位置不同,如圖14所示,因擺高必須相等,則內(nèi)側(cè)物體的擺角可能大于、等于或小于外側(cè)物體的擺角,也就可能出現(xiàn)內(nèi)側(cè)物體的圓周運(yùn)動(dòng)半徑大于、等于或小于外側(cè)物體的圓周運(yùn)動(dòng)半徑．

圖13

圖14

綜上所述,在圓錐擺問題中,ω2h=g是一個(gè)不變量,只要抓住這一不變量,在分析圓錐擺問題時(shí)將會(huì)變得非常的方便和快捷．

1 李洪軍.“旋轉(zhuǎn)秋千”懸線擺角的分析[J].理科考試研究·綜合版，2015(3)：27-28.

2 白晶.圓錐擺模型的疑難化解與相關(guān)教學(xué)建議[J].物理教師，2016(4)：78-80.

3 袁培耀.圓錐擺模型的遷移應(yīng)用[J].物理教師，2011(2)：20-22.

2016-10-30)