二維周期介質阻帶分析與應用研究

徐承亮+陳三龍

【摘 要】為了分析二維周期介質橫向波的傳播特性，根據已提出的二維周期介質分析方法，在給定縱向波傳播的情況下，具體分析了波在橫向上的傳播特性，研究了阻帶與介質調制系數的關系。分析了阻帶的形成規律及其分布特性。通過時域有限差分數值計算方法對阻帶分布特性進行了模擬和印證，結果符合預期，分析結果為微波、毫米波集成電路導波計、濾波器等微波器件設提供理論指導和數據支持。

【關鍵詞】二維周期介質 介質波導陣列 阻帶 通帶 時域有限差分

[Abstract]In order to analyze the propagation characteristics of transverse wave in two-dimensional periodic medium based on the established rigorous theory for two-dimensionally periodic （2DP） medium， a great amount of numerical results for Dielectric Waveguide Array （DWA） were presented in this paper. Transverse Wave propagation in DWA was analyzed in detail. Firstly， given the longitudinal wave vector （kz）， Brillouin dispersion relations between transverse wave vectors were analyzed. Interactions between space harmonics were studied. Secondly， supposing transverse wave vectors （kx and ky） were identical， dispersion relations between transverse wave vectors and wave frequency were studied in detail. Because of interactions between space harmonics increasingly getting stronger with modulation coefficients increasing， stop-bands could be distinctly displayed and transverse wave propagation in DWA could be comprehensively analyzed. These results that stop-bands distributed and varied with modulation index varying were in good agreements with those derived from finite difference time domain method. Finally， the applications about transversal propagation in DWA were also discussed. These results can be basic of design of microwave or millimeter wave integrated circuit and some devices.

[Key words]Two-dimensionally periodic medium dielectric waveguide array stop-band pass-band Finite difference time domain

1 引言

對電磁波在周期介質或周期結構中傳播特性的研究自上個世紀初開始就一直是學者們的熱門課題[1]。周期介質/周期結構已廣泛應用于微波集成電路、濾波器及天線輻射等方面，為了更好地理解周期介質/周期結構的一些物理特性和應用，周期介質/周期結構理論和數值計算有待發展和研究。

文獻[2]提出了一種分析二維周期介質/周期結構的解析理論，當將這種理論應用到一種二維周期介質-介質波導陣列（DWA）電磁特性分析時，數值計算比較簡單和有效，能使DWA橫向、縱向傳播特性有效被分析，一些物理效應和應用容易理解和實現。DWA是介質分布在縱向上分布均勻，在橫向上具有二維周期特性。DWA是一種比較典型的二維周期介質，在應用方面表現出調制系數容易調節的特性，能廣泛應用于天線輻射、濾波和微波集成電路及導波器件等方面的設計[3-5]。

然而，一些電磁特性如阻帶特性還有待進一步研究。利用該嚴格理論來分析DWA并非有想象的那么多，特別是當DWA應用到導波、輻射與掃描時，DWA的電磁帶隙特性急需透徹理解。本文通過該嚴格理論，系統而深入分析DWA阻帶分布特性，還對一些導波特性及其應用進行了討論。首先研究了二維周期介質分析理論，而后重點討論了橫向色散關系，最后詳細分析了阻帶的形成、變化規律及其應用。

2 二維周期介質嚴格理論

設εr（x， y）是二維周期介質的介質分布函數，則：

εr（x+a， y+b）=εr（x，y） （1）

其中a、b分別為二維平面上x、y方向上的空間周期長度。根據Maxwell方程，二維周期介質中傳播的電磁波的電場矢量E滿足波動方程：

××E=k02εr（x，y）E （2）

根據Floquet定理，方程（2）可寫成

（3）

其中方程（3）意義在文獻6及文獻7中有詳細說明，它是一個齊次矩陣方程，計算簡單而有效（請對公式（3）中的物理量進行說明）。矩陣形式為：

ME=0 （4）

顯然M是特征矩陣，E代表電場特征向量。為了使特征方程（公式（4））具有非零解，特征矩陣對應行列式必須為零，即：

Det[M]=0 （5）

稱公式（5）為色散關系方程，下面將用該色散方程來討論DWA阻帶形成及其分布特性。

3 DWA橫向色散特性

利用色散方程（公式（5））來分析DWA的電磁波橫向傳播特性和色散關系。為了透徹理解橫向色散特性，不妨就TM模式為例來分析，令調制系數（或εr4）變化，得到一系列色散關系如圖1所示（假設在縱向上傳）。

播常數為零，即kz=0，波在橫向上以某角度q=tan-1（ky/kx）入射，當調制系數（可讓εr4變化）從小到大變化時，空間諧波相互作用逐漸增強，阻帶變得越來越大，結論和文獻[1]—文獻[7]符合。阻帶的變大，意味著橫向傳播成份越來越少。因為隨著調制系數（M=εr4/εr1，2，3）的增大，在阻帶范圍內橫向傳播波數（ky/kx）不再是實數，而是某一復數，出現的橫向傳播波數（ky/kx）是變為復數，則在該方向上波不斷被衰減而截止，從而出現阻帶。圖1中細實線表示無擾動曲線，即調制系數為1的情形，屬均勻介質色散曲線，此時εr1=εr2=εr3=εr4=1.0。粗實線為調制系數大于1情形，屬二維周期介質色散曲線。

隨著調制系數繼續增大，空間諧波相互作用大大增強，色散曲線強烈背離無擾動曲線，阻帶繼續加大甚至使不同阻帶合并成更大的阻帶（如圖1（c）所示），在圖1（d）中εr4?5.8，橫向波數全部為復數，顯然，這種情況下，電磁波在各個方向（（x， y））上都被截止而不能傳播。

4 阻帶分布特性

在本節主要討論波頻率（或自由空間波數k0）和橫向波數 （kx或ky）之間的色散關系。研究在給定二維周期介質物理模型情況下，阻帶出現在哪些頻段。在給定二維周期介質物理參數后，色散方程（5）是關于k0與kx、ky和kz的方程。為了方便討論和理解，假設電磁波在二維平面上以q=tan-1（ky/kx）=45°入射，且kz=0，這樣可通過色散方程（5）可討論k0與kx=ky的關系。

顯然，無擾動色散關系或均勻介質色散關系、二維周期介質色散關系，這些色散關系都可從色散關系方程（5）中推得。和圖1表示相同，在作色散關系曲線圖時，粗實線表示調制系數大于1時的情形，即表示二維周期介質色散關系。細實線表示的調制系數為1，即表示均勻介質色散關系。不妨設x和y方向上的空間周期長度相等，即a=b。

（1）m=0、n=0，εr1=εr2=εr3=εr4=1.0，由色散方程（5）可得：

2[kxa/（2p）]2=[k0a/（2p）]2 （5a）

即為無擾動色散曲線。

（2）m=-1、n=0或m=0、n=-1，εr1=εr2=εr3=εr4==1.0，由色散方程（5）可得

（kxa/（2p）-1）2+（kxa/（2p））2=[k0a/（2p）]2 （5b）

也為無擾動色散曲線。

（3）當m=-1、n=-1時同理可得：

2（kxa/（2p）-1）2 =[k0a/（2p）]2 （5c）

同樣，隨著εr4的增大，空間諧波相互作用逐漸增強，阻帶開始出現，隨后不斷擴大，如圖2（a）、（b）、（c）、（d）所示。為了更清楚看出詳細變化規律，不妨計算其中較大-個阻帶的詳細歸一化頻率和變化值，如表1所示：

根據表1的計算數據，畫出具體阻帶分布曲線圖如圖3所示。從曲線圖分析可知，隨調制系數“M=εr4/εr1”的增大，阻帶分布從高端逐步移向低端，如圖3紅、藍實線所示。阻帶寬度不斷加大，當M=9.01時，阻帶寬度達到最大值，如圖3黑粗實線所示。當調制系數M再增大時，阻帶頻率下移，但阻帶寬度幾乎不變化，出現所謂“飽和現象”。顯然，當需要阻帶低頻時可選調制系數較大情形，高頻時則選調制系數較小的情況。

5 時域有限差分法數值分析

利用時域有限差分法將Maxwell方程進行中心差分得到一個差分方程組，根據該差分方程組可模擬電磁波在二維周期介質中的傳播情形。根據文獻[6]，在一個周期內，圓形或方形介質分布比例相同時周期特性是一致的，即可通過研究方形/圓形分布的周期特性來等效圓形/方形分布的周期特性。根據周期介質缺陷原理，在阻帶范圍內，如果周期介質中某局部出現缺陷，如圖4（a）所示，該阻帶內的波就可在缺陷中傳播，未缺陷的仍無法傳播。為了便于應用，本節運用時域有限差分法計算和模擬了圓形分布的二維周期介質電波傳播過程，如圖4（b）所示。由于阻帶和缺陷導波特性，波沿L形缺陷路徑傳播，其他方向由于阻帶特性而截止。這種導波特性對二維周期介質導波、輻射和微波、毫米波集成電路設計具有重要的指導價值和應用意義。圖4中的調制系數M=er4/er1 =er4=11.51，歸一化頻率k0a/（2p）=0.32，位于阻帶中心頻率部位。介質εr4分布占一個周期內的1/4面積，表現出的阻帶特性和正方形介質er4分布占的1/4面積是完全一致的[6]。

6 結論

對DWA阻帶形成原因和阻帶分布進行了數值計算和模擬，對DWA阻帶及缺陷相互作用而形成的導波特性進行分析和研究，對其應用也做了討論。

首先討論了調制系數M不斷增大，空間諧波作用增強，阻帶逐漸加大的變化規律，得到了橫向波數的色散關系。其次，探討了假設在二維平面上以45°角入射時的導波特性，同樣，隨著調制系數的增大，阻帶加大，阻帶頻段有向低頻方向移動趨勢，當調制系數M=9.01時，阻帶寬度達到最大，再繼續增大，阻帶帶寬幾乎不再增大。最后選擇了一個特例，利用電磁場數值計算方法-時域有限差分方法模擬了電磁波在二維周期介質及其缺陷態中傳播特性，驗證了阻帶電磁特性，計算結果和結論一致。二維周期介質的阻帶分布特性在微波、毫米波導波、輻射[8-9]及集成電路設計方面具有應用意義。

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