地震作用下復(fù)阻尼調(diào)頻質(zhì)量阻尼器減震結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

田 歡

(中國(guó)中元國(guó)際工程有限公司，北京 100089)

地震作用下復(fù)阻尼調(diào)頻質(zhì)量阻尼器減震結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

田 歡

(中國(guó)中元國(guó)際工程有限公司，北京 100089)

分析了簡(jiǎn)諧激勵(lì)和平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)條件下，復(fù)阻尼調(diào)頻質(zhì)量阻尼器(TMD)和主結(jié)構(gòu)的二自由度減震結(jié)構(gòu)體系的穩(wěn)態(tài)地震響應(yīng)，建立了動(dòng)力學(xué)平衡方程，推導(dǎo)了復(fù)阻尼TMD的阻尼和頻率最優(yōu)參數(shù)的理論公式，并分析了該二自由度減震結(jié)構(gòu)體系在多條地震波作用下的減震效果，對(duì)比了復(fù)阻尼TMD和粘滯阻尼TMD減震效果的差異，結(jié)果表明：復(fù)阻尼TMD的減震效果接近于粘滯阻尼TMD的結(jié)果，在應(yīng)用TMD減震技術(shù)時(shí)，復(fù)阻尼TMD也是一種選擇。

復(fù)阻尼，TMD，簡(jiǎn)諧激勵(lì)，白噪聲激勵(lì)，地震波激勵(lì)

0 引言

近些年來(lái)，在調(diào)頻質(zhì)量阻尼器的研究中主結(jié)構(gòu)和TMD子結(jié)構(gòu)采用的都是粘滯阻尼。粘滯阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)理論已經(jīng)發(fā)展的很成熟，在機(jī)械振動(dòng)和土木工程的振動(dòng)控制中都有了成功的應(yīng)用[1-5]。

相對(duì)于粘滯阻尼而言，復(fù)阻尼在TMD減振結(jié)構(gòu)中的研究比較晚。文獻(xiàn)[6]對(duì)復(fù)阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)的最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行了研究，結(jié)果表明復(fù)阻尼TMD的減振效果與粘滯阻尼TMD的減振效果接近，但作者沒(méi)有給出設(shè)計(jì)公式。

丁文鏡[7]對(duì)文獻(xiàn)[6]的研究成果做了部分介紹，之后對(duì)復(fù)阻尼在TMD中應(yīng)用的研究文獻(xiàn)就很少了。

本文將基于地震激勵(lì)下主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼的二自由度力學(xué)模型，對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)和白噪聲隨機(jī)過(guò)程激勵(lì)下復(fù)阻尼TMD減震結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)進(jìn)行分析，推導(dǎo)最優(yōu)參數(shù)的理論公式。對(duì)采用最優(yōu)參數(shù)TMD的上述二自由度結(jié)構(gòu)在22條地震波作用下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析，研究復(fù)阻尼TMD和粘滯阻尼TMD減震效果的差異性。

1 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下復(fù)阻尼TMD最優(yōu)參數(shù)的理論解

如圖1所示的地震作用下主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼的二自由度結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，其對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程如式(1)所示。

(1)

其中,m0，k0，m1，k1分別為TMD減震結(jié)構(gòu)中主、子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度；fd為子結(jié)構(gòu)的阻尼力，當(dāng)采用復(fù)阻尼時(shí)，阻尼力按式(2)計(jì)算[8]。

(2)

(3)

(4)

定義A0=R0/ys，A1=R1/ys，代入式(4)中,消除ys后解得：

(5)

式(5)的模為：

(6)

其中,β0,β1分別為主、子結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)的動(dòng)力放大系數(shù)。

B1=(g4μ+(f2-g2)(-1+g2(1+μ)))。

B2=f2(-1+g2(1+μ))。

B3=g2-f2(1+μ)。

B4=f2(1+μ)。

文獻(xiàn)[9]給出了主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼的TMD減振結(jié)構(gòu)中放大系數(shù)隨輸入頻率比的變化曲線，當(dāng)子結(jié)構(gòu)取不同的阻尼時(shí)，這些曲線有公共點(diǎn)。文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)了簡(jiǎn)諧激勵(lì)下主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼的TMD減振體系的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比，最優(yōu)頻率比由兩個(gè)公共點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位移動(dòng)力放大系數(shù)相等的條件獲得，最優(yōu)阻尼比由曲線的峰值點(diǎn)與公共點(diǎn)重合得到。本文將采用此方法推導(dǎo)復(fù)阻尼TMD減振結(jié)構(gòu)的最優(yōu)參數(shù)。對(duì)式(6)中β0分別取η趨于0，η趨于無(wú)窮得到：

(7)

當(dāng)μ，f為某定值時(shí)，式(7)表示β0隨g變化的兩條曲線，令兩式相等化簡(jiǎn)得到：

2(1+μ)g4-(2+μ+2f2(1+μ)2)g2+2f2(1+μ)=0

(8)

式(8)中有兩個(gè)正數(shù)解，記為ga,gb。將ga,gb分別代入式(7)的第二式，令二者相等可求得頻率比與質(zhì)量比的關(guān)系式，此時(shí)的頻率比為最優(yōu)頻率比，即：

(9)

將fopt回代可得：

(10)

(11)

將fopt代入式(6)中第一式，當(dāng)a,b兩點(diǎn)的位移放大系數(shù)為局部極大值時(shí)，求解阻尼比。經(jīng)復(fù)雜地推導(dǎo)后得到a,b兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的阻尼參數(shù)：

(12)

當(dāng)質(zhì)量比μ較小時(shí)，按有關(guān)文獻(xiàn)的方法定義最優(yōu)阻尼參數(shù)，即：

(13)

將上面的結(jié)果總結(jié)到表1，表1中同時(shí)給出粘滯阻尼對(duì)應(yīng)的結(jié)果。從表1中可以看出：

復(fù)阻尼和粘滯阻尼對(duì)應(yīng)的最優(yōu)頻率比、公共點(diǎn)處頻率比、公共點(diǎn)處動(dòng)力放大系數(shù)均相同，最優(yōu)阻尼參數(shù)不同。

表1 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下TMD減震結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)優(yōu)化參數(shù)

圖2給出的是質(zhì)量比為0.1、頻率比取復(fù)阻尼對(duì)應(yīng)的最優(yōu)頻率比，阻尼參數(shù)分別取0,ηa,ηopt,ηb，∞時(shí)β0隨g的變化曲線，作為對(duì)比，圖2中還給出了粘滯阻尼取最優(yōu)參數(shù)(fopt,ζopt)時(shí)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，從圖2中可以看出：

1)不同阻尼參數(shù)對(duì)應(yīng)的主結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)動(dòng)力放大系數(shù)曲線經(jīng)過(guò)兩個(gè)公共點(diǎn)。

2)TMD減振結(jié)構(gòu)采用最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，在小于ga的區(qū)域，復(fù)阻尼TMD的位移放大系數(shù)小于粘滯阻尼TMD對(duì)應(yīng)的結(jié)果，復(fù)阻尼TMD的減振效果要優(yōu)于粘滯阻尼TMD；在大于gb的區(qū)域，復(fù)阻尼TMD的位移放大系數(shù)大于粘滯阻尼TMD對(duì)應(yīng)的結(jié)果，粘滯阻尼TMD的減振效果要優(yōu)于復(fù)阻尼TMD，但二者相差不大。

3)TMD采用最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，復(fù)阻尼TMD對(duì)應(yīng)的位移反應(yīng)放大系數(shù)曲線中的最大值大于粘滯阻尼TMD的結(jié)果，但二者相差很小。

2 平穩(wěn)白噪聲激勵(lì)下復(fù)阻尼TMD的最優(yōu)參數(shù)及減震效果

對(duì)圖1給出的二自由度力學(xué)分析模型進(jìn)行平穩(wěn)白噪聲地震激勵(lì)，主結(jié)構(gòu)位移傳遞函數(shù)為：

(14)

其中，g=w/w0,主結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的功率譜為：

(15)

對(duì)式(15)在頻率域內(nèi)積分可得它的方差：

(16)

將上面求出的復(fù)阻尼TMD的A0(g)代入式(16)，用留數(shù)定理得到式(16)的理論解，但結(jié)果很復(fù)雜。用數(shù)值方法求出使方差最小時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率比和阻尼比隨質(zhì)量比的變化曲線，此時(shí)的頻率比和阻尼比為最優(yōu)解。用數(shù)值擬合方法求出TMD減振體系最優(yōu)參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式，如表2所示，作為對(duì)比，表2中同時(shí)給出粘滯阻尼TMD最優(yōu)參數(shù)的理論公式[7]。

表2 平穩(wěn)白噪聲地震激勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)優(yōu)化參數(shù)

定義下面參數(shù)表示TMD的減振效果：TMD減振結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)白噪聲激勵(lì)下主結(jié)構(gòu)位移方差與單自由度結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)白噪聲激勵(lì)下結(jié)構(gòu)位移方差之比，即：

(17)

圖3給出了ζ0=0.05時(shí)TMD減震效果隨質(zhì)量比的變化曲線，圖4給出了TMD的最優(yōu)參數(shù)隨質(zhì)量比的變化曲線，從圖中可以看出：

1)粘滯阻尼的減振效果稍好于復(fù)阻尼，但二者相差很小，復(fù)阻尼有很好的應(yīng)用前景。

2)當(dāng)TMD減振結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比大于0.05時(shí)，減振效果大于0。

3)平穩(wěn)白噪聲激勵(lì)下，復(fù)阻尼和粘滯阻尼對(duì)應(yīng)的最優(yōu)頻率比不同，但二者相差不多。

3 地面運(yùn)動(dòng)加速度時(shí)程激勵(lì)下復(fù)阻尼TMD減震效果

下面考察最優(yōu)參數(shù)配置條件下TMD減震結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)及減震效果，分析模型為如圖1所示的二自由度結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)參數(shù)取值如下：w0=2π，m0=1，μ=0.1。采用復(fù)阻尼時(shí)，按簡(jiǎn)諧激勵(lì)和按白噪聲過(guò)程激勵(lì)給出公式計(jì)算的最優(yōu)頻率比分別為0.89和0.94，最優(yōu)阻尼參數(shù)分別為0.4和0.32；采用粘滯阻尼時(shí)，按簡(jiǎn)諧激勵(lì)和按白噪聲過(guò)程激勵(lì)給出公式計(jì)算的最優(yōu)頻率比都為0.89，最優(yōu)阻尼參數(shù)分別為0.19和0.15。地面運(yùn)動(dòng)加速度時(shí)程選取22條地震波，即ATC-63建議采用的遠(yuǎn)場(chǎng)(距離震中大于10km)地震動(dòng)記錄，峰值都調(diào)至1m/s2。

為了便于討論，計(jì)算了相同阻尼比下，w0=2π，m0=1，ζ0=0.05的單 自由度結(jié)構(gòu)在相同地震波作用下的時(shí)程響應(yīng)。根據(jù)式(17)思路定義如下減震效果：

(18)

即用TMD減震體系主結(jié)構(gòu)位移幅值相對(duì)于5%阻尼比單自由度結(jié)構(gòu)位移峰值的減小百分比。

圖5a)給出的是22條地震波作用下主子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值，其中子結(jié)構(gòu)最優(yōu)參數(shù)按簡(jiǎn)諧激勵(lì)條件確定，包括復(fù)阻尼和粘滯阻尼。

從圖中可以看出：

1)兩種阻尼對(duì)應(yīng)的主結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值近似一致。

2)子結(jié)構(gòu)峰值少數(shù)地震波作用下稍有差異，復(fù)阻尼對(duì)應(yīng)結(jié)果稍小于后者。

圖5b)給出的是22條地震波作用下主結(jié)構(gòu)位移峰值減震效果，確定子結(jié)構(gòu)最優(yōu)參數(shù)時(shí)考慮了簡(jiǎn)諧激勵(lì)條件和平穩(wěn)白噪聲激勵(lì)條件，每種時(shí)程工況還包括復(fù)阻尼TMD和粘滯阻尼TMD兩種情況。圖5b)中上子圖為按簡(jiǎn)諧激勵(lì)條件確定子結(jié)構(gòu)最優(yōu)參數(shù)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，中子圖為按白噪聲激勵(lì)條件確定最優(yōu)參數(shù)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，下子圖為按這兩種方法確定的最優(yōu)復(fù)阻尼參數(shù)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)在22條波作用下的減震效果對(duì)比曲線。

從圖中可以看出：

1)用兩種方法確定的兩種阻尼最優(yōu)參數(shù)對(duì)應(yīng)的主結(jié)構(gòu)位移減震效果近似一致。

2)基于簡(jiǎn)諧激勵(lì)條件和白噪聲激勵(lì)條件確定的優(yōu)化參數(shù)對(duì)應(yīng)的結(jié)果稍有差異，但比較小。

4 結(jié)論與討論

對(duì)復(fù)阻尼在TMD減震體系中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，推導(dǎo)了簡(jiǎn)諧激勵(lì)地震作用下復(fù)阻尼TMD的最優(yōu)參數(shù)理論公式，用數(shù)值擬合方法給出了平穩(wěn)白噪聲地震激勵(lì)下的優(yōu)化參數(shù)公式，并對(duì)22條地震 波作用下復(fù)阻尼TMD減震體系的減震效果進(jìn)行了分析。得出如下結(jié)論：

1)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，復(fù)阻尼TMD減震結(jié)構(gòu)的最優(yōu)頻率比和粘滯阻尼TMD的結(jié)果相同，在公共點(diǎn)處的最大阻尼力和子結(jié)構(gòu)位移也相同。

2)平穩(wěn)白噪聲作用下，復(fù)阻尼TMD的減震效果略小于粘滯阻尼，當(dāng)質(zhì)量比為0.1時(shí)，二者相差0.95%，當(dāng)質(zhì)量比為0.5時(shí)二者相差2.7%，相差很小。

3)在地震波作用下，兩種阻尼對(duì)應(yīng)的TMD減震效果接近，基于簡(jiǎn)諧激勵(lì)和白噪聲激勵(lì)給出的最優(yōu)參數(shù)對(duì)應(yīng)的地震波減震效果之間的差異較小。

[1] 王肇民.電視塔結(jié)構(gòu)TMD風(fēng)振控制研究與設(shè)計(jì)[J].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào),1994(5):2-13.

[2] 翁大根,黃斐駿,周志光,等.某超高層建筑電渦流TMD的減震分析[J].地震工程與工程振動(dòng),2014,34(sup):815-821.

[3] 李春祥,劉艷霞.高層建筑TMD風(fēng)振控制優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2001(1):71-75.

[4] 背戶一登.結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2011.

[5] 背戶一登.動(dòng)力吸振器及其應(yīng)用[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2013.

[6] J. C. SNOWDON.Steady-state Behavior of the dynamic absorber[J].Journal of the Acoustical Society of America,1959,31(8):1096-1103.

[7] 丁文鏡.減震理論[M].北京:清華大學(xué)出版社,1988.

[8] Joseph Penzien RAYW. CLOUGH.DYNAMICS OF STRUCTURES[M].New York:McGraw-Hill,1993.

[9] Hahnkamm E..Die d mpfung von fundamentschwinggungen bei ver?nderlicher erregerfrequenz[J].Ingenieur-Archiv,1932(4):192-201.

[10] Den Hartong J.P..Mechanical vibrations[M].New York:McGraw Hill,1956.

Optimum design for structure including TMD with complex damping subjected to earthquake

Tian Huan

(ChinaIPPRInternationalEngineeringCompanyLimited，Beijing100089,China)

The steady state responses of the two degree of freedom damping structure system including the TMD with complex damping and the main structure subjected to harmonic excitation and stationary random excitation are analyzed. The dynamic equations are established. The analytic solution for the optimum damping and frequency is obtained. The damping effect of the two degree of freedom damping structure system subjected to multiple seismic waves is analyzed. The difference of the damping effect between TMD with complex damping and TMD with viscous damping is compared. The influencing factor and the law of TMD’s damping effect are studied under different seismic wave excitations. The results showed that the vibration reduction effect of the system with complex damping is very close to the effect of the system with viscous damping. When the TMD is applied in vibration control, complex damping is an advisable option.

complex damping, TMD, harmonic excitation, white noise excitation, seismic wave excitation

1009-6825(2017)05-0042-04

2016-12-05

田 歡(1990- )，男，碩士，工程師

TU352

A