化歸思想在數學解題中的應用研究

施紅燕

摘 要：化歸思想在數學解題中起著非常重要的作用，其本質是用發展的眼光看問題，改變問題的形式，化繁為簡、化曲為直、化抽象為具體。利用化歸思想能做到：新舊結合，簡化過程；多元轉化，化難為易；拼湊條件，直接得出結果。

關鍵詞：中學數學；化歸思想；化繁為簡；化曲為直

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2017）08-0055-01

數學思想是對數學知識的深刻理解，化歸思想就是其中之一。化歸思想是基本的思想構建，它是在解決數學問題的時候采用某種方法將復雜問題轉化為簡單問題，將未知的問題轉化為已知的問題。化歸思想的本質是用發展的眼光看問題，改變問題的形式，化繁為簡、化曲為直、化抽象為具體。

一、新舊結合，簡化過程

當學生面對新的數學問題時，往往會感覺到束手無策。那么，如何幫助學生在面對新題型的時候更好地解決問題呢？新舊結合解決問題是一個不錯的方法。在學習了如何解方程后，習題中就有許多新的題型出現。例如，已知條件：x2 + y2 + 2x – 4y +5 =0，求解x，y。在平時的教學中，根本沒有涉及這種含有兩個未知量的方程，學生們面對這樣的習題都十分迷茫。因此，在解題之前，教師可以先為學生們出兩道其他習題，一個為：x2 + 2x+ 1 = 0，求解x。另外一個為：y2-4y + 4 = 0，求解y。對于這兩道題，學生們很快就得出了答案，一個為（x + 1）2 = 0 ，另一個則為（y- 2）2= 0，求解得x = 1和 x =-1，另外一個解為：y = 2。緊接著教師再回到先前那道題目上，問學生這道題x2 + y2 + 2x - 4y +5 =0，結果學生們還是有點不知所措。這時，教師可以提醒學生們：“其實你們剛剛已將把這道題的答案解出來了。”學生們都很吃驚，然后教師在黑板上寫道：（x + 1）2 + （y-2）2= 0，學生們這才恍然大悟，原來這就是自己所學知識的變形。這樣，學生們很快就得出了答案。俗話說得好，萬變不離其宗。再新的題型也是從書本上的知識演變過來的，只要將舊的知識學習扎實，再新的題型也就變得容易了。因此，在教學過程中，教師要著重培養學生新舊知識相結合，利用舊知識解決新問題的能力。

二、多元轉化，化難為易

多元轉化是分析數學習題中相關關系的一把利刃，快刀斬亂麻，能夠幫助學生理清解題思路，化難為易。只要學生將多元轉化的化歸思想掌握透徹，就不至于在解題過程中沒有任何思路而放棄。因此，在數學教學過程中，教師要著力培養學生的這種多元轉換的思想。例如，有些題在求解的時候可以將其從高次轉化為低次來簡化求解過程。已知的條件為x2 + x = 1，求解x3 + 2x2–1的值是多少？從題目中我們可以知道x2 +x =1，那么從中就可以知道x2 =1- x，這樣的話，就可以對x3 + 2x2- 1進行轉化，可以將其轉化為x3 + 2x2 -1 = x（1-x） + 2x2-1，進而可以將x（1-x） +2x2-1轉化為：x -x2+ 2x2- 1 = x+ x2 -1 = 0。通過利用多元轉化，將高次轉化為低次，學生們不僅提高了做題的速度，減少了計算的工作量，節約了時間，還懂得了化歸的思想，一舉兩得。所謂“師傅領進門，修行在個人”，教師將知識之間進行緊密的連通，通過有目的的轉化，幫助學生更好地理解歸納，同時給他們滲透這種思想。這樣，在學生們以后解決相關問題的時候，就可以得心應手地運用到化歸的思想。

三、拼湊條件，直接得出結果

當面對復雜的習題，運用題目中給定的已知條件進行解答時，會發現單單通過已知條件進行分析，并不能快速準確地找到答案。那么，利用拼湊條件的方法，卻可以直接找出答案。例如，教師出示習題xy= 1，x2 + y2 = 4 ，求 x+y，學生拿出紙筆應用x= 1/y，然后帶入x2 + y2 = 4中，進行求解。在學生們求解的過程中，教師對學生們說，其實，我們可以不用進行筆算，口算就可以得出答案的。學生們聽后，臉上露出了驚訝的表情。有一個學生問，我們利用了很長時間得出的答案，老師如何進行口算就可以解出試題呢？趁著學生們有這份好奇心，教師在黑板上寫出了（x+y）2 -2xy = 4，學生們很快發現，是教師將x2 + y2 = 4、xy= 1這兩個已知條件進行拼湊，得到了與未知條件相似的形式，由此就可以很快地找到答案。在解題過程中，學生們往往一看到習題就開始進行筆算，錯過了細細“品味”的時間。而有的題目進行筆算，花費時間還可以計算出來，但是有的則不然，這在考試中，就會白白浪費時間。因此，在教學過程中，有效滲透化歸思想，利用拼湊條件，可以直接得出答案，不但答案準確，而且節約時間。

四、結束語

在眾多的數學思想中，化歸思想占有的位置非同一般。應用化歸思想，能夠將新舊知識進行結合、多元轉化、拼湊條件，是解決數學問題的一把利刃。當面對一個問題時，要學會首先思考一下，提出一個等價命題，把原問題轉化、歸結為一個更容易的命題，化難為易，達到預期的效果。因此，在數學教學過程中，滲透化歸思想對解題具有十分重要的意義。

參考文獻：

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