高中數學教學需要注意學生思維的連貫性

吳飛飛

[摘 要] 應試背景下的高中數學教學，容易讓學生的思維處于非連貫的狀態. 而基于學生的思維特點與認知習慣，設計問題的表述方式與提出順序，可以讓學生的思維保持良好的連貫性. 長期進行這樣的訓練，可以讓學生形成良好的思維習慣.

[關鍵詞] 高中數學；思維；連貫性

數學是思維的科學，數學教學是思維的教學，特別是對于高中數學而言，由于學生已經有了充分的數學基礎知識，而高中數學知識又是以這些知識作為建構基礎的，因此建構過程中的學生思維就受到高度重視. 但目前面臨的實際是，由于高考壓力的存在，學生在數學知識學習中更多的是知識的積累與習題的重復訓練，真正基于思維教學，真正以思維為主線的教學并不多見（當然在此過程中學生的思維會有所發展，但這種發展近乎是自然發生的，教學所起的作用尚待進一步發掘）. 筆者以為，這樣的教學取向是有問題的. 當然，認識到這個問題本身并不難，難的是如何在當前應試評價的前提下，更有效地培養學生的數學思維. 考慮到當前已有的努力，筆者以為在注重思維的基礎上進一步注重思維的連貫性，可以讓學生的數學素養得到進一步的提升.

■為什么要注重思維的連貫性

為什么要注重思維的連貫性？這似乎是一個不需要問的問題. 但在教學實際中可以發現，學生在構建很多數學概念的時候，思維其實都是不連貫的. 舉一個簡單的例子，在“圓與圓的位置關系”這一內容的教學中，很多時候教師都會提出這樣的一些問題：在同一個平面內如果有兩個圓，那這兩個圓可能存在哪些關系？你能舉出這樣的例子嗎？你能用作圖的方法表示你的想法嗎？應當說這些問題在這一知識的教學中，可能不少教師都問過，但是我們有沒有注意到在這三個問題的作用下，學生的思維可能會是什么樣子的呢.

根據筆者結合教學經驗去猜想，同時筆者找了教學班中不同層次的學生分別進行了調查，結果發現不同層次的學生在遇到這三個問題的時候想法既有相同的地方，也有不同的地方. 先說不同的地方，通常情況下，優秀的學生在聽到第一個問題之后，會自動地在大腦中構思兩個圓的位置關系，并能判斷出相交、相離等關系. 即使他們窮盡自己的思考而沒有新的發現之后，心里仍然存在疑慮：有沒有自己沒有考慮到的可能？而中等生需要通過自己畫圖或者討論的方式去尋找結果，他們也能夠發現最基本的位置關系，但并不能有效地拓展思維. 也就是說，當他們無法再發現新的位置關系時，就認為自己已經找全了圓與圓的位置關系. 至于學困生，他們往往是下意識地去生活中尋找圓的關系，此過程中有一個細節值得研究：很多學困生都能夠想到奧運五環的圖形，也能想到兩個圓相離的情形，但這個時候他們所舉的例子有空中的兩個氣球等（這種將立體圖形簡化成平面圖形并獲得認知，也是一種有趣的現象）.

由此可以看出，不同層次的學生在思考相同的問題的時候，思路是不一樣的，尤其是思維的出發點是不一樣的. 當然，這個過程中也有相同的地方，根據筆者的研究，不同層次的學生盡管形象思維或抽象思維出現的順序不同，但都不約而同地用到了形象思維，都能有意識地去生活中尋找圓的原型. 這也說明了即使是高中學生，即使抽象思維能力已經有了充足的發展，但是形象思維仍然是他們慣用的思維方式.

更重要的是，上面三個問題的提出，實際上無法讓不同層次的學生的思維處于一種連貫的狀態，這也說明在提出問題的時候，要注意問題的方式與提出順序. 只有這樣，才能讓學生的數學知識的構建更為順利.

■怎樣實現數學思維的連貫性

事實上，在實際的高中數學教學中，像上面這樣的例子并不少見，因此可以不夸張地講，很多情況下學生思維其實都處于不連貫的狀態，這對于學生構建數學知識來說不是什么好的現象. 那么，學生思維不連貫的原因到底在哪里呢？又如何讓學生的思維在高中數學學習的過程中更好地處于連貫的狀態呢？筆者做出了這樣的解釋：

第一個問題. 筆者以為學生的思維不連貫更多的是由教師的“啟發”引起的. 這里所說的啟發既指教師有意識的問題的提出，也指教師在教學中可能的無意識的影響. 因為教師對于問題的設計，往往都是基于自己的教學經驗的，比如說在上面的“圓與圓的位置關系”這一內容的教學中，包括筆者在內，都是從需要教學的內容倒推出來的問題：既然要學圓與圓的位置關系，那就問學生圓與圓可能存在什么樣的關系；既然需要強調數學與生活的聯系，那就讓學生到生活中尋找這樣的例子；既然要培養學生的思維能力，那就讓學生自己去舉例. 問題在于，學生的思維習慣或者說順序，并不由教師所決定，因此問題提問不當或順序不當，學生的思維自然就極有可能處于不連貫的狀態.

在上面分析的基礎上回答第二個問題，就會發現保證學生在數學課堂上思維連貫性的關鍵，在于教師基于對學生認知規律的把握，去認真設計問題的表述方式與提出順序等. 仍然以“圓與圓的位置關系”為例，考慮到學生構建這一知識時表現出的對形象思維的需要，筆者以為第一個問題或許應當這樣提出：在生活中總會有一個面上出現兩個圓的情形，大家先想想這些情形都有哪些具體的例子. 在學生尋找到生活中自行車輪圈、奧運五環、同心圓（此時非指數學意義上的同心圓圖形，而是學生在生活中形成的同心圓認知）等例子之后，再提出第二個問題：如果給你一大一小兩個圓圈，你會如何構建出不同類型的圓與圓的位置關系？這是一個讓學生動手體驗及動腦思考的過程. 在這個過程中，學生對圓與圓的位置關系可能不是很清晰，但一定可以在體驗的過程中不斷有新的發現，而每一個新的發現其實又是在前面思考的基礎上，經過邏輯思考形成的. 這個過程中的思維非常充分. 最后提出問題：如果讓你用數學語言來描述自己的體驗、收獲與所舉的例子，你能發現圓與圓之間存在著哪些關系呢？

以上同樣是三個問題，但是這樣的提出順序是符合學生認知邏輯與思維習慣的，是可以滿足學生思維的連貫性的，因為從生活中尋找事例是全體學生的思維起點，而讓學生動手體驗同是全體學生構建數學知識的基本習慣. 這兩個環節可以保證所有學生都有一個良好的圓與圓的位置關系的構建基礎，同時也能激活學生的原有思維. 只有到了第三個環節，也就是用數學語言描述體驗的時候，尤其是將數學符號表示不同的圓與圓的位置關系的時候，學生才有可能因為能力差異以及數學知識基礎的不同而出現水平的高低. 這種情況某種程度上講是不可避免的，而這樣的問題與提出順序，實際上將千萬學生學習困難的影響降低到了最小，應當說是一種較好的保證學生思維連貫性的策略.

■如何判斷學生思維的連貫性

這里還有另外的一個重要問題，那就是教師在課堂上如何判斷學生的思維是不是連貫的. 畢竟，在教學之前根據自己的教學經驗去設計教學，并預設學生思維可能的情形是簡單的；而到了實際的課堂上，學生的思維是不是真的連貫，那就很難判斷了，畢竟思維是學生內在的東西，不是一個可以直接觀測的對象. 根據筆者的教學經驗，學生思維在高中數學課堂上是不是保持連貫，可以從這樣的兩個角度來判斷.

一是學生在課堂上的上課表情. 必須承認，如果教師能夠讓學生的思維集中到學習上來，那不同層次的學生在遇到同一個問題時，同一個學生在遇到不同難度的問題或者說知識建構的過程時，表現一定會有所不同. 這種不同是可以通過學生的學習表情來判斷的：如果說學生在構建數學知識的時候，表情比較輕松，常常有微笑或會心一笑或得意一笑的時候，就說明學生的思維是處于連貫狀態的；如果說學生在上課的時候愁眉緊鎖，那么自然就是思維遇到了障礙.

二是學生與同伴討論的情形. 當前提倡自主合作探究的學習方式，高中數學通過合作學習來促進不同層次的學生之間互通學習收獲，現已經成為一種新常態. 在學生討論的過程中，教師要深入到各個小組，聽聽不同層次的學生是怎么說的. 具體一點說，優秀的學生在講某個知識點的時候思路是不是清晰，邏輯是不是合理（這可是高中數學最重視的兩個內容）；而在聽課時學生是不是真的聽得懂，尤其是在聽的過程中是完全被動地接受，還是有問題提出. 這些不同表現的背后，往往就反映著學生思維的差異，而思維的連貫與否就可以在此過程中判斷出來.

當然，這兩點只是筆者的經驗之談，而注重此話題的同行也一定有新的視角. 在這里筆者還有一點想強調一下，那就是學生思維的連貫性在高中數學學習的過程中是存在積極的遷移作用的，也就是說一旦學生的思維能夠真正連貫起來，可以保證他們在其他數學知識的學習中會有一個更好的思維習慣，而這對于當前的高中數學教學來說，顯然是一個不小的福音.