基于非下采樣剪切波變換域三變量模型圖像去噪算法

石滿紅，劉 衛

?

基于非下采樣剪切波變換域三變量模型圖像去噪算法

石滿紅1，劉 衛2

（1. 安徽科技學院信息與網絡工程學院 安徽 鳳陽 233100；2. 中國科學院合肥智能機械研究所 安徽 合肥 230031）

結合非下采樣剪切波變換域三變量閾值濾波和多分辨引導濾波，本文提出一種去除高斯白噪聲的圖像去噪的有效方法。在非下采樣剪切波變換域中，以三變量非高斯模型對方向帶通子帶系數間相關性進行建模，采用最大后驗估計理論推導出三變量收縮閾值函數。此外，對低頻子帶系數采用多分辨引導濾波進行平滑處理，以達到更好的噪聲抑制效果。實驗結果顯示，本文所提去噪方法可以有效抑制噪聲同時保留更多的圖像細節信息，與其他濾波算法相比，該去噪算法可得到更高的客觀數據及更好的視覺效果。

圖像去噪；非下采樣剪切波變換；三變量非高斯模型；引導濾波

0 引言

圖像在其獲取與傳遞過程中，常常會受到各種噪聲（如加性高斯白噪聲）的污染。圖像去噪的主要目的是有效減少噪聲等級且保留盡可能多的細節特征。

從處理域的角度，去噪算法可分為空間域濾波和變換域濾波。近年來，學者們提出了很多基于空間域的濾波算法：非局部均值濾波、雙邊濾波、引導濾波等[1-3]?？臻g域濾波直接處理圖像像素，具有執行速度快，方法簡單等優點，但是圖像細節信息卻無法被提取出來，去噪后圖像丟失了很多細節信息、邊緣處模糊不清。小波變換憑借其較好的時頻局部化能力，可以有效地提取圖像的細節信息，因而被廣泛的應用在圖像去噪領域。針對小波系數之間的強相關性，學者們提出了很多先驗統計模型對小波系數進行建模[4-9]，然而這些先驗模型存在著對系數間相關性考慮不充分或者估計模型參數過于復雜的問題。

小波變換雖然可以對點奇異分段光滑函數進行最優逼近，但是由一維小波張量形成的二維可分離小波只有有限方向，它們不能很好地表示自然圖像的高維奇異特征（邊緣、紋理等）。為了更加有效、稀疏的表示圖像，多尺度幾何分析工具被提了出來，如Curvelet、Ridgelet、Contourlet等[10-12]。隨后，學者們提出了很多基于多尺度幾何分析的圖像去噪算法并取得了較為理想的去噪效果[13-15]。2007年，Guo提出了新的多尺度幾何分析工具——Shearlet[16]，理論上可以執行任意多方向的圖像分解，逆合成過程具有較高的執行效率，可近似最優地逼近圖像。因Shearlet具有這些優點，它在圖像處理領域有諸多應用[17-19]。但是，Shearlet變換不具有平移不變性，去噪結果會出現偽吉布斯現象。2008年，Easley提出了非下采樣Shearlet變換[20]，它繼承了Shearlet變換所有優良特性且具有平移不變性，它更適用于圖像去噪工作。

傳統的基于變換域去噪算法，大多認為噪聲只集中存在于高頻子帶，低頻子帶不需要處理。然而，低頻子帶中也存在一定量的噪聲，因此，在執行圖像去噪工作時有必要對低頻子帶也進行相應的處理?；谝陨戏治?，本文提出一種新的圖像去噪算法——通過結合非下采樣Shearlet變換域的閾值濾波方法和引導濾波方法，達到去除噪聲的目的。圖像經非下采樣Shearlet變換分解后，高頻子帶運用三變量閾值函數進行處理，對于每次重構得到的低頻子帶再運用引導濾波平滑處理，圖1為本文去噪算法的流程圖，其中H0、H1分別為低通和高通分解濾波器，G0、G1為合成濾波器，SF為剪切濾波器，圖1中只進行了兩層分解，具體應用時可推廣到更多層分解。

1 Shearlet變換

Guo等人在合成小波理論基礎上衍生出Shearlet變換[16]。定義具有合成膨脹仿射系統為：

任意?＋，?，?2，Shearlet基函數定義為：

基于以上Shearlet定義，函數()的Shearlet變換為：

SH(,,)＝<,,,> (2)

式中：、s、分別表示尺度參數、剪切的方向以及平移量。圖2顯示了Shearlet的頻域支撐。

非下采樣Shearlet變換分多尺度剖分與方向局部化兩步執行。在多尺度剖分階段，為了使其具有平移不變性、抑制圖像處理結果出現的偽Gibbs現象，在實現過程中去除了下采樣操作，采用非下采樣金字塔濾波器組進行多尺度分解；在方向局部化階段，采用平移不變剪切濾波器組將頻域分解為一系列的梯形高頻子帶。更多關于非下采樣Shearlet變換的內容，可以參考文獻[20]。

2 引導濾波

引導濾波[3]是一個局部線性平移不變的邊緣保持濾波器，它基于兩個假定條件的折中，第一個條件是引導圖像和濾波結果圖像之間存在線性模型，第二個條件是濾波結果應該盡可能的與源圖像相似。對于像素的濾波結果為：

式中：WijGuided(×)表示引導圖像I的濾波核函數且與源圖像p相互獨立。

圖2 Shearlet變換頻域支撐

式(3)的濾波核函數定義為：

式中：和2分別表示引導圖像局部窗口c的均值和方差；＞0防止分母為零。

3 NSST域三變量統計模型

對于受到零均值加性高斯白噪聲污染的原始圖像，其退化模型為：

(,)＝(,)＋(,) (5)

式中：(,)、(,)、(,)分別代表原始圖像、噪聲圖像及高斯白噪聲（方差為2）。圖像經過NSST變換后，得到：

＝＋(6)

對于式(8)，我們需要得到噪聲的概率密度函數p()與圖像的NSST系數的概率密度函數p()。文中處理的對象是高斯白噪聲，即～(0,2)，其中2為噪聲的方差。然而我們無法準確獲得p()，通常做法是使用一個相近的概率密度函數作為替代。圖3(c)、(d)為自然圖像Lena和紅外圖像Plane的最細子帶的概率直方圖，所有的分布都在零值附近具有一個非常尖銳的頂峰且在峰值兩邊有著很長的拖尾現象，這些結果顯示了NSST系數是極度稀疏的，大部分的系數幅值都在零值左右。相似的情況也出現在其他圖像中，因此圖像的NSST系數具有非常高的非高斯性。

圖3 NSST最細子帶系數統計直方圖

3.1 NSST系數間的依賴關系

由前面分析可知，NSST高頻子帶系數的分布情況呈現出零均值、重拖尾的特點，HMT[5]、GGD[6]等模型都可近似其邊緣概率分布。但這些模型大多只反映系數尺度間或尺度內相關性，無法充分體現NSST系數間相關性。為了定量分析系數間的依賴關系，本文使用互信息[21]作為量化指標來度量NSST系數間的依賴關系。兩個具有邊緣概率密度函數()、()及聯合概率密度函數(,)的隨機變量、的互信息定義為：

互信息MI(X;Y)表示用Y表示X的信息量，其值越大說明兩者關系越緊密，當變量X、Y相互獨立時，MI(X;Y)等于0。下面我們使用(9)式計算NSST系數間的互信息值，令m表示當前的NSST系數，Pm表示其父系數，Nm表示鄰域系數，Cm表示兄弟系數，圖4為一幅圖像經3層NSST分解（方向分別為1、4、16），系數間相關的相互關系。

首先，我們對4幅標準圖像（Lena, Barbara, Boat, Peppers）、2幅紅外圖像以及2幅遙感圖像進行NSST分解（尺度數3），然后在最細方向子帶上分別計算MI(;)、MI(;)、MI(;,)以及MI(;,)的平均互信息值，表1給出計算結果。

從表1可知，平均互信息值滿足不等式MI(;)＜MI(;)＜MI(;,)＜MI(;,)，即(,)可以提供給的信息量要遠遠高于或者。因而，為了捕獲NSST系數間相關性，充分描述當前系數與父系數和兄弟系數間相關性，文中使用三變量分布模型進行建模。

3.2 基于NSST域三變量統計模型圖像的去噪

設1、2、3是干凈的NSST的系數，且2是1的父系數，3是1相反方向兄弟系數。1、2、3為當前觀測到含噪NSST系數，1、2、3為高斯白噪聲的變換系數。則有：

即：＝＋，其中＝(1,2,3)，＝(1,2,3)，＝(1,2,3)。

假定噪聲服從高斯分布，從而它的概率密度函數為：

通過以上分析，本文使用三變量廣義球等高指數作為當前系數、父系數和兄弟系數的概率密度函數，即：

式(12)是一個概率密度函數且具有對稱性，它充分顯示1、2和3之間的相關特性，其中是一個自由參數，在處理圖像過程中通常取為值為3，2為NSST系數方差，2為噪聲方差。

令()＝ln[p()]，則(7)等價于：

表1 NSST系數的平均互信息值（最細子帶）

由于()函數是可微的、嚴格凸的，對式(13)關于1、2及3求導。然后將式(12)代入式(13)，有：

整理得：

將(15)代入方程組(14)，有：

4 算法主要步驟

4.1 參數估計

式中：2()是系數w對應的噪聲方差；()是以w為中心的方形鄰域；2為()中的系數。

4.2 去噪主要步驟

本文去噪方法主要步驟總結如下：

Step 1 對含噪圖像進行NSST分解（尺度數4，方向數4、8、8、16），得到NSST系數；

Step 2 采用蒙特卡羅方法估計2，再用式(17)估計2；

Step 4 對逆NSST變換中的每層低頻子帶采用引導濾波進行平滑處理，從而得到最終的去噪圖像。

5 實驗結果與分析

為了驗證本文所提去噪算法在去除加性高斯白噪聲時的可行性和有效性，我們分別對自然圖像（Lena、Barbara）、紅外圖像（Plane）及遙感圖像（Pentagon）進行測試，加入均值為零、方差為2的高斯白噪聲。在仿真的實驗中，比較本文所提去噪算法與幾種較為優秀的去噪算法：LAWML[22]，NSCT[23]、BiShrink[7]、SURE-LET[24]以及KSVD[25]；然后使用兩個常用的客觀指標（峰值信噪比（PSNR）、平均結構相似性[26]（MSSIM））結合去噪圖像的視覺效果來綜合評價各個方法的有效性，圖5～圖8和表2～表3為本文的實驗結果。

表2 不同圖像去噪后峰值的信噪比（PSNR/dB）

圖5～圖8為使用不同去噪方法處理含高斯噪聲標準差為20的自然圖像（Lena、Barbara）、紅外圖像（Plane）及遙感圖像（Pentagon）得到的去噪結果圖。盡管沒有明確的客觀方式用于判別去噪圖像的視覺效果，但是通常會使用兩個重要的準則：人工紋理信息感知度與圖像邊緣信息保留度。從圖中可以看出，與其他幾種去噪方法相比，本文方法表現出更加優秀的抑制噪聲的性能，去噪圖像的視覺效果更好。在平坦區域，圖像表面更加平滑；在紋理豐富區域，保留了更清晰的邊界信息。雖然各個去噪圖像中都有一定量的人工紋理信息存在，但是本文方法的去噪結果圖中出現的人工紋理是最少的。

從表2可以看出，PSNR值隨著噪聲方差的增加呈下降的趨勢。對不同含噪的圖像，較之其他的方法，本文方法均得到最大PSNR值。相比較于LAWML、SURE-LET算法，所提方法的PSNR值有較大幅度的提高，特別對于紅外圖像Plane和遙感圖像Pentagon，本文方法獲得的PSNR值的優勢較為明顯；與其余幾種優秀的去噪方法相比，PSNR值也都有一定程度的提高，這主要歸功于NSST變換可以更加稀疏地表示圖像、三變量模型可以準確地對系數尺度內和尺度間相關性進行建模以及對重建的低頻系數進行邊緣保持濾波，這些有效策略都為更好地抑制噪聲做出貢獻。

表3 不同方法對不同圖像去噪后的平均結構相似性（MSSIM）

圖5 方差為20的圖像（Lena）去噪后局部放大圖

MSSIM值可以評估去噪算法保留邊緣紋理信息的能力，因此我們在實驗中也使用了MSSIM作為客觀度量。各個方法處理不同等級噪聲圖像得到的客觀數據如表3所示。從表3中我們不難看出，本文方法的去噪圖像MSSIM值最高，這意味著所提方法保持原圖像結構的能力最好。

6 結論

如何精確度量NSST系數間相關性是基于變換域貝葉斯去噪方法的核心問題之一。為了充分反映NSST系數之間的相關性，首先使用三變量廣義球等高指數對當前系數、父系數及兄弟系數進行建模，在此基礎上，推導出系數估計函數，最后對逆變換過程中的低頻子帶系數進行引導濾波平滑處理，從而得到最終的去噪圖像。仿真實驗顯示出本文所提去噪算法不僅使得高斯白噪聲被有效去除而且去噪圖像中帶來了更少的人工紋理信息，較之當前幾種優秀算法，本文算法在客觀度量及視覺效果上均獲得了更為理想的結果。

圖6 噪聲方差為20的圖像（Barbara）去噪后局部放大圖

圖7 不同方法去噪后的紅外圖像（Plane）比較（噪聲標準差為20）

圖8 不同方法去噪后的遙感圖像（Pentagon）比較（噪聲標準差為20）

[1] Buades A, Coll B, Morel J M. A non-local algorithm for image denoising[C]//, San Diego: 2005, 2: 60-65.

[2] Chaudhury K N. Acceleration of the shiftable O(1) algorithm for bilateral filtering and non-local means[J]., 2013, 22(4): 1291-1300.

[3] HE K, SUN J, TANG X. Guided Image Filtering[C]//, 2010, 35(6): 1-14.

[4] DONOHO D L. Denoising by soft-thresholding[J]., 1995, 41(3): 613-627.

[5] CROUSE M S, NOWAK R D, BARANIUK R G. Wavelet-based statistical signal processing using hidden Markov models[J]., 1998, 46(4): 886-902.

[6] CHANG S, YU B, Vetterli M. Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression[J]., 2000, 9(9): 1532-1546.

[7] SENDER L, Ivan W. Selesnick. Bivariate Shrinkage Functions for wavelet-based denoising exploiting interscale dependency[J]., 2002, 20(11): 2744-2756.

[8] Portilla J, Strla V. Image denoising using scale mixtures of Gaussians in the wavelet domain[J]., 2003, 12(11): 1338-1351.

[9] CHO D, BUI T D. Multivariate statistical modeling for image denoising using wavelet transforms[J]., 2005, 20(1): 77-89.

[10] Candes E. Ridgelets: Theory and Applications[D]. USA: Department of Statistics, Stanford University, 1998.

[11] Starck J L, Candes E J, Donoho D L. The curvelet transform for image denoising[J]., 2002, 21(11): 131-141.

[12] DO M N, VETTERLI M. The Contourlet transform: an efficient directional multiresolution image representation[J]., 2005, 14(12): 2091-2106.

[13] 賈建, 焦李成, 項海林. 基于雙變量閾值的非下采樣Contourlet變換圖像去噪[J]. 電子與信息學報, 2009, 31(3): 532-536.

JIA Jian, JIAO Licheng, XIANG Hailin. Using bivariate threshold function for image denoising in NSCT domain[J]., 2009, 31(3): 532-536.

[14] YANG H Y, WANG X Y, QU T X, et al. Image denoising using bilateral filter and Gaussian scale mixtures in shiftable complex directional pyramid domain[J]., 2011, 37(5): 656-668.

[15] Ramin E, Hayder R. Translation-invariant contourlet transform and its application to image denoising[J]., 2006, 15(11): 3362-3374.

[16] GUO K, Labate D. Optimally sparse multidimensional representations using shearlets[J]., 2007, 39(1): 298-318.

[17] YI S, Labate D, Easley G R, et al. A shearlet approach to edge analysis and detection[J]., 2009, 18(5): 929-941.

[18] 朱華生, 徐晨光. Shearlet變換域自適應圖像去噪算法[J]. 激光與紅外, 2012, 42(7): 811-814.

ZHU Huasheng, XU chenguang. Adaptive image denoising algorithm based on Shearlet transform[J]., 2012, 42(7): 811-814.

[19] Deng C, Wang S, Chen X. Remote sensing images fusion algorithm based on shearlet transform[C]//, WuHan: 2009: 451-454.

[20] Easley G, Labate D, Lim W Q. Sparse directional image representations using the discrete shearlet transform[J]., 2008, 25(1): 25-46.

[21] LIU J, Moulin P. Information-theoretic analysis of interscale and intrascale dependencies between image wavelet coefficients[J]. I, 2001, 10(11): 1647-1658.

[22] Mihcak M K, Kozintsev I, Ramchandran K. Low-complexity image denoising based on statistical modeling of wavelet coefcients[J]., 1999, 6(12): 300-303.

[23] Cunha A L, Zhou Jianping, Do M N. The nonsubsampled contourlet transform: theory, design and application[J]., 2006, 15(10): 3089-3101.

[24] Luisier F, Blu T, Unser M. A new SURE approach to image denoising: interscale orthonormal wavelet thresholding[J]., 2007, 16(3): 593-606.

[25] MICHAEL E. Image denoising via sparse and redundant representations over learned dictionaries[J]., 2006, 15(12): 3736-3745.

[26] ZHOU W, Bovik A C, et al. Image quality assessment: from error visibility to structural similarity[J]., 2004, 13(4): 600-612.

Image Denoising Using a Trivariate Model in the Nonsubsampled Shearlet Transform Domain

SHI Manhong1，LIU Wei2

(1.,,233100,; 2.,,230031,)

We present an efficient algorithm for removing white Gaussian noise from corrupted images by incorporating a nonsubsampled Shearlet transform (NSST)-based trivariate shrinkage filter into a multiresolution guide filter. In the NSST domain, coefficients are modeled as a trivariate Gaussian distribution, accounting for the statistical dependencies among interscale and intrascale transform coefficients. A nonlinear trivariate shrinkage function is derived using a maximum a posteriori (MAP) estimator. To obtain better denoising results, low-frequency sub-bands are smoothed using a multiresolution guide filter. Experimental results show that our algorithm is very effective in eliminating image noise, and performs better than other denoising techniques.

image denoising，nonsubsampled Shearlet transform，trivariate non Gaussian model，guided filter

TN911. 73

A

1001-8891(2017)11-1045-09

2017-04-21；

2017-07-29.

石滿紅（1987-），女（漢族），安徽安慶人，助教，碩士，研究方向計算機輔助幾何設計。

安徽科技學院校級項目（ZRC2016499），安徽省自然基金資助項目（1508085MC55），安徽省教育廳自然科學重點項目（KJ2016A174）。