在合情與演繹推理中深化概念教學

吳亞娟

在合情與演繹推理中深化概念教學

吳亞娟

數(shù)學概念是人對客觀事物中有關數(shù)量關系和空間形式方面本質屬性的抽象。它既是數(shù)學基礎知識的重要組成部分，又是數(shù)學的邏輯起點，更是發(fā)展學生思維、培養(yǎng)數(shù)學能力的基礎。數(shù)學概念教學常用的兩種推理模式，即合情推理與演繹推理，雖然是兩種不同的推理路徑，但它們除了在不同的概念建構中因其自身的特質各自發(fā)揮著應有的作用外，兩種推理路徑在概念的建構中又是相輔相成的。

概念教學；合情推理；演繹推理

在小學數(shù)學概念教學中，學生思維能力的培養(yǎng)既離不開感性的合情推理，也離不開理性的演繹推理。數(shù)學推理模式本質上有兩種，即演繹推理與合情推理，在一般情況下，人們是借助合情推理“預測”數(shù)學結果，借助演繹推理“驗證”數(shù)學結果。演繹推理和合情推理雖不相同，但是相輔相成的兩種推理，兩者不能人為割裂。

一、合情推理在概念建構中的條件解析

《義務教育數(shù)學課程標準 （2011年版）》（以下簡稱“2011版課標”）中明確：歸納和類比是合情推理的主要形式，因此，小學階段有相當一部分的概念必須通過比較、類比、聯(lián)想、歸納等創(chuàng)造性的思考來培養(yǎng)合情推理能力。其次，鑒于小學生的年齡與認知特點，教材中的概念教學大量地采用了數(shù)學猜想、枚舉歸納、類比遷移等合情推理的方法。

1.合情在概念從特殊到一般時。

概念教學由過程開始，然后轉變?yōu)閷ο蟮恼J知，因此，我們不應把概念過早推給學生，而是應該遵循從特殊到一般、從具體到抽象、從過程到結果的原則，逐步幫助學生明晰概念。如教學蘇教版五下《分數(shù)的意義》時，我們必須通過列舉大量日常生活中平均分配的實例來說明“平均分”，抽象“單位1”，從而自然而然地引出“分數(shù)”的概念。整個教學過程，教者充分運用合情推理從特殊到一般的模式，通過舉例、歸納、抽象出“分數(shù)”的本質概念，同時，借助“分數(shù)”概念的建構，學生的抽象概括能力、合情推理能力、總結提升能力都得到了有效提高。

2.合情在概念從特殊到特殊時。

當某一概念必須根據(jù)兩個不同對象的某些方面（如特性、關系、屬性等）的相同或相似點，來推出它們在其他方面也可能有的相同或相似的思維形式時，從特殊到特殊的合情推理就應運而生了。如在教學蘇教版六上《百分數(shù)》一課時，當教者借助大量的生活經(jīng)驗引入百分數(shù)的概念后，又通過遷移舊知，讓學生認識了百分數(shù)的外在屬性，再通過回顧分數(shù)意義，搭建分數(shù)和百分數(shù)的聯(lián)系，然后從具體到抽象，逐步完善百分數(shù)的概念。但理解百分數(shù)的概念如果就此打住，那么，這堂課就成了為教概念而教概念了。因此，教者啟發(fā)學生思考：百分數(shù)定義中包含幾個數(shù)？表示兩個數(shù)之間怎樣的關系？接著出示例子“A是B的300﹪”，并將此例子與 “A是B的3倍”“A是B的”“A∶B=3∶1”等進行對比，從而引導學生發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系。最后得出結論：百分數(shù)與整數(shù)、分數(shù)和比一樣，可以用來表示兩個數(shù)之間的倍數(shù)關系，所以百分數(shù)也叫百分率或百分比。至此，百分數(shù)的概念就真正建構得非常完整而又深刻了。整個教學過程，教者通過類比的合情推理，把概括而得的百分數(shù)的本質屬性推廣到整數(shù)、分數(shù)、比等同類概念中去，它既是百分數(shù)概念的運用過程，又是一個在高層次上抽象概括的過程，最后把新獲得的百分數(shù)的概念納入到同一類別的概念體系中，建立新概念與原有概念之間的聯(lián)系，達到概念教學的高級階段。

3.合情在概念從猜想到驗證時。

“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)”，因此有些概念在建構的過程中必須要通過觀察、實驗、類比、歸納等手段提出猜想。教師應該積極創(chuàng)設條件，引導學生大膽猜想，縝密驗證，讓思維插上合情推理的翅膀。

例如在教學蘇教版五下“能被3整除的數(shù)的特征”時，學生易受能被2或5整除的數(shù)的特征影響，做出“個位是3的數(shù)都能被3整除”的猜想。因此，教學時，教師分別出示下列幾組數(shù)：（1）256、46、113、176、6、359、896； （2）21、18、129、36、243、234、342。當驗證完第一組后，學生馬上意識到原先的猜想是錯誤的，心中充滿疑惑的同時，探求新知的欲望油然而生。這時，教師馬上引導學生去觀察、驗證第二組，看看這些數(shù)能否被3整除，這些數(shù)又有怎樣的特征。由此，新的猜想誕生了：可能與各個數(shù)位上的數(shù)的和有關，于是，第二輪驗證又如火如荼地開始了。整個教學過程，教者通過引導學生大膽猜想、舉例驗證、總結提升，使合情推理的思維過程貫穿于教學的始終，“能被3整除的數(shù)的特征”這一抽象的概念在一次次的猜想、驗證、推理的過程中清晰建構。

二、演繹推理在概念建構中的條件解析

演繹推理是從一般到特殊的推理，雖然，小學階段以合情推理為主，但在2011版課標中明確提出，第三學段有必要引導學生“體會證明的必要性，發(fā)展初步的演繹推理能力”。特別是學生在遇到一些內(nèi)容體系邏輯性較強、知識結構高度抽象的概念時，演繹推理能發(fā)揮合情推理所不能起到的作用。

1．演繹在概念內(nèi)容體系邏輯較強時。

當概念邏輯性較強時，學生學習的過程都是以演繹的方法展開的，這時學生既不必要完全經(jīng)歷數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，發(fā)現(xiàn)學習也不可能成為學生學習數(shù)學知識的唯一形式。這時，演繹推理則是展開數(shù)學知識體系的主要形式。如在教學蘇教版六上《長方體和正方體的認識》時，我們一般是先引導學生通過觀察、測量、比較得出長方體有6個面、8個頂點、12條棱，并且每個面都是長方形，其中相對的兩個面是完全相同的，這是從面和棱的角度認識長方體。在此基礎上，用同樣的方法認識正方體的特征。接下來，如何在演繹中尋求長方體和正方體的關系，從而打通相互間的邏輯體系，就顯得尤為重要了，因此“正方體具有長方體的所有特征嗎？”這一問題，就引發(fā)學生借助知識之間的邏輯關系進行深入思考，而學生的思考過程以及所獲得的結論就是一個演繹推理過程。這一基于知識本質之間的推理，不僅有助于認識長方體和正方體的特征，而且能進一步厘清兩個概念之間的邏輯關系，從而培養(yǎng)學生的演繹推理能力。

2．演繹在概念知識結構高度抽象時。

實踐表明，概念的本質特征越多，學習越容易，非本質特征越多，學習越困難，這時，演繹推理就能在一定程度上發(fā)揮其應有的作用。比如在教學蘇教版五下《圓的認識》時，我們應讓學生知道：在同一個圓中，半徑的長度都相等，直徑的長度都相等，直徑的長度等于半徑的2倍。如果教學時，我們單純地通過量一量、比一比，或者借助多媒體演示得出結論，那么，學生在數(shù)學思想方法的感受和抽象能力的培養(yǎng)上，就屬于較低層次。由此，教學時，我們可以通過畫、量、對比、歸納得出半徑的長度都相等，然后可以根據(jù)直徑和半徑的定義推理得出：直徑的長度是半徑的2倍，接著根據(jù)“等量的同倍量相等”，由上述兩個結論通過演繹推理得出：直徑的長度都相等。教學中，如果我們能像上述教學過程一樣契合實際地正確把握這種結構，用演繹推理的手段組織學習過程，不但能幫助學生掌握思考方法，理解高度抽象的概念內(nèi)容的邏輯結構，還能提高學生的模式辨認能力，縮短推理過程，從而培養(yǎng)學生思維的縝密性、抽象性、邏輯性，并較好地發(fā)展學生的演繹推理能力。

當然，在概念教學中，培養(yǎng)學生的演繹推理能力，不僅要注意層次性，而且要關注學生的差異，要使每個學生都能體會證明的必要性，從而使學習演繹推理成為學生的自覺要求，克服“為了證明而證明”的盲目性。

三、合情與演繹的有機融合在概念建構中的條件解析

2011版課標對推理能力的內(nèi)涵作了如下闡述：“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學猜想，并進一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例。”這就是說，學生獲得數(shù)學結論應當經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程，這雖然是兩種不同的推理路徑，但它們除了在不同的概念建構中因其自身的特質各自發(fā)揮著應有的作用外，兩種推理路徑在概念的建構中又是相輔相成的。

如在教學蘇教版四下“三角形內(nèi)角和”一課時，教師先讓學生匯報兩種三角板每個角的度數(shù)，再說出每個三角板三個內(nèi)角的和，引發(fā)學生猜想：“你認為每個三角形的內(nèi)角和是多少？”學生紛紛猜測是180°，接著引導學生小組合作，任意剪出不同的三角形，并把每個三角形的三個內(nèi)角剪下來拼在一起，學生通過觀察驚奇地發(fā)現(xiàn)，任意三角形三個內(nèi)角拼在一起都是平角，至此“三角形內(nèi)角和是180度”這個結論自然而然地被學生接受了，接著讓學生獨立計算“已知三角形的兩個角分別是72°和34°，求出第三個角”的練習，再要求學生說說自己計算的根據(jù)，最后再讓學生量一量算出的角度數(shù)，進一步感受結論的正確性。整個教學過程，教者先引導學生在觀察、分析、類比的基礎上，得出符合猜想的合情推理，然后讓學生自行計算、度量，演繹推理出結論的正確性。我們不難發(fā)現(xiàn)，這兩種推理方法的有機結合，學生更好地掌握了新知識，鍛煉了學生的推理能力，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。

在概念的建構過程中，如果我們能準確把握每種推理路徑的實質，并在各自的領域發(fā)揮其應有的作用，有時為了需要還能把這兩種推理路徑有機地結合起來，那就能使我們的概念教學，甚至是整個數(shù)學的教學過程達到一個知識與能力、思想與方法、過程與結果的完美統(tǒng)一。

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1005-6009（2017）81-0035-03

吳亞娟，江蘇省常州市武進區(qū)橫林實驗小學（江蘇常州，213161）校長，高級教師，常州市骨干教師。