冠狀動脈系統的微分積分終端滑模混沌抑制

錢殿偉，席亞菲

（華北電力大學 控制與計算機工程學院，北京 102206）

近年來，混沌抑制作為生物工程界的關鍵技術受到了越來越多的關注。將混沌抑制原理應用到生物醫學領域取得了很多理論成果。冠狀動脈是為心臟提供氧氣的肌型血管。血管痙攣是造成心肌梗死、心絞痛等冠狀動脈疾病的根本原因[1-2]。而血管痙攣在數學角度上看就是血管的混沌狀態[3]。血管混沌現象可能會對身體帶來致命威脅[4]。所以，研究冠狀動脈系統的混沌特性，實現冠狀動脈系統的混沌抑制具有理論意義和實用價值。

混沌抑制控制方法主要有線性法[5]、非線性方法[6-8]、局部線性方法[9]等。其中線性、局部線性方法只適用于線性或線性化的系統。冠狀動脈系統是一類非線性生物系統，需要設計非線性控制器來實現混沌抑制。采用非線性方法，已經提出的混沌抑制方法包括高階自適應滑模控制[6]、時滯狀態反饋控制[10]、滑模控制[11]等。

在現實中，冠狀動脈系統易受體溫、血壓等多種不確定性的影響[1]，這更增大了其混沌抑制的難度。微分積分終端滑模是一種滑模控制設計方法，消除了滑動模態的到達時間，適用于高相對階系統，這種設計方法不存在奇異現象，能精確估計誤差收斂時間[12]。

雖然滑模控制在滑動模態下對匹配不確定性具有不變性，但是冠狀動脈系統的復雜性導致其難以滿足滑模控制的匹配條件。已證明，擾動觀測器可以有效地克服非匹配不確定性對滑模控制系統的影響，因此本文結合微分積分終端滑模控制方法和擾動觀測器來解決不確定性冠狀動脈系統的混沌抑制問題。

1 數學模型及問題描述

冠狀動脈本質上是一類肌型血管，其動態集總參數模型為：

式中：x1是血管內徑變化差；x2是血管壓力差；t是時間變量；b、c、λ為冠狀動脈系統的集總參數；Ecosωt表示系統受到周期性刺激。

圖1表示冠狀動脈系統隨著參數c變化的分岔圖。其中，初始條件為[x1(0) x2(0)]T=[0.2 0.2]T；其他參數為 b=0.15、λ=-0.65、E=0.3和 ω=1；時間序列為 2π、4π、6π、10π 和 12π；時間周期為 2π。類似地，冠狀動脈系統隨著λ和b的變化也存在分岔現象。選取參數 b=0.15、λ=-0.65、c=-1.7、E=0.3和ω=1，在同樣的初始條件下，冠狀動脈系統相平面圖如圖2所示。從圖1、圖2可見，冠狀動脈系統在某些參數下處于混沌狀態，其混沌抑制問題具有挑戰性。

圖 1 狀態隨著參數c變化的分岔圖Fig. 1 Bifurcation diagrams of the states with respect to the change of c

圖 2 冠狀動脈系統的相平面圖Fig. 2 Phase plane of the coronary artery system

定義(1)為標稱系統，其不確定性系統為

假設1系統不確定性d有界，即d*是未知的正實數。

假設2d是慢時變擾動，即。

冠狀動脈系統混沌抑制的目的是通過設計控制器使得不確定性系統與標稱系統同步，即

式中：02×1=[0 0]T，e=[e1e2]T，和。

根據式(3)的誤差定義，由式(1)、(2)可得

式中：d=-cd2+λ(1+c)d1；B=[0 -c]T；；假設3和光滑且李導數存在。

2 控制設計

本文采用微分積分終端滑模控制方法抑制冠狀動脈系統的混沌狀態，設計微分積分終端滑模面為

定理1若定義式(9)為滑模平面，則狀態變量將在有限時間內收斂至02×1，其中為：

式中t11是滑模的到達時間。

證明所設計的滑動模態開始于t=0，所以成立。由于，所以

進一步，對式(9)求導并將式(8)代入可得

為了獲取微分積分終端滑模控制律，選取李雅普諾夫函數V0=s2/2，對其求導可得，并代入式(15)，令可得微分積分終端滑模控制律

定義估計誤差ed為

假設4 ed有界，即|ed|≤，其中是未知的正實數。

解式(20)可得

可見，通過選取向量L保證LB2是正常數，可保證估計誤差ed在t→∞時指數收斂。因此，可由擾動觀測器輸出代替式(16)中的。

定理2在假設1至4下，針對冠狀動脈系統模型(2)，利用輸入-輸出動態方程(8)，定義微分積分終端滑模面(9)，采用擾動觀測器(18)，設計微分積分終端滑模控制律(22)，則閉環混沌抑制系統是漸近穩定的。

證明采用同樣的李雅普諾夫函數V0=s2/2,對其求導并將式(15)代入，可得

將式(22)代入式(23)得

由于 p11＞0，q11＞0，且 p11＞q11，所以式 (24)中所有滿足。式(24)中的第1項和第2項滿足不等式(25)：

選擇 ke＞(1-φ)進而。

進一步，式(24)中第3項可描述為：

3 仿真結果

在標稱系統(1)和不確定性系統(2)中，系統集總參數取為 b=0.1、λ=-0.65、c=-1.7、E=0.3和ω=1。初始狀態為[x1(0) x2(0)]T=[0.2 0.2]T。所設計的微分積分終端滑模器參數為α=2、β=2、p11=p21=11、q11=q21=13、ke=2、η=0.1、k=2；所設計的擾動觀測器參數為L=[0 5]T。

式(2)、式(5)中，d1屬于非匹配擾動而d2屬于匹配擾動。由于滑模控制在滑動模態下對匹配擾動具有不變性，因此在仿真中僅考慮非匹配擾動的對系統性能的影響，取d1=2sin(t)和d2=0。

采用文獻[6]中的高階自適應滑模控制方法、微分積分終端滑模控制方法以及本文提出的控制方法進行對比實驗，仿真結果如圖3 ～ 7所示。如定理2所證，采用所設計的控制策略，冠狀動脈系統在非匹配不確定性的影響下能夠實現混沌抑制。

圖 3 狀態軌跡Fig. 3 Trajectories of the states

從圖3可知，微分積分終端滑模控制方法和擾動觀測器可以有效地抑制冠狀動脈系統中的混沌現象，具有較高的跟蹤精確度。而高階自適應滑模控制系統受非匹配不確定性的影響較大，動態響應時間較長。圖4表示滑模平面變量，如定理1所證，微分積分終端滑模控制方法能夠保證系統誤差在有限時間內收斂到零。擾動觀測器的估計誤差示于圖5。標稱系統(1)、不確定性系統(2)和誤差系統(5)的相平面圖示于圖7。

圖 4 滑模面Fig. 4 Sliding surface

圖 5 擾動誤差Fig. 5 Estimate error

圖 6 控制量Fig. 6 Control input

圖 7 標稱系統、不確定系統與誤差系統的相平面圖Fig. 7 Phase plane trajectories of the error system, the nominal system and the uncertain system

4 結束語

本文針對冠狀動脈系統的混沌抑制問題，提出了微分積分終端滑模控制方法，建立了冠狀動脈系統的混沌同步動力學模型，采用擾動觀測器克服系統中不確定性的不利影響，利用李雅普諾夫理論分析了所設計混沌抑制控制系統的穩定性，通過與高階自適應滑模的仿真對比，驗證了所提出的控制方法的有效性與可行性。