一種快速魯棒核空間圖形模糊聚類分割算法

吳其平，吳成茂

（西安郵電大學 電子工程學院，陜西 西安 710121）

圖像分割[1]的本質是將圖像中不同類目標按照要求劃分成不同區域，用于解決相似特性像素的分類問題，使同類像素更可能劃分為一類，它是圖像處理和圖像分析的一個重要環節。由于圖像從三維目標投影為平面對象時會有信息損失，人眼對相鄰灰度級的區分存在不確定性，從而使得模糊聚類[2]在圖像分割領域得到了廣泛應用。目前，模糊C-均值(fuzzy c-means, FCM)[3]聚類是圖像分割中最常用的聚類方法之一，但該聚類所對應的劃分信息僅采用隸屬度表達樣本分類程度大小，無法刻畫樣本歸類中存在的不確定性和拒絕程度，導致該算法難以有效聚類復雜的非凸數據。針對這一不足，Chaira等[4-5]將傳統模糊C-均值聚類推廣至直覺模糊集，提出直覺模糊聚類算法(intuitionistic fuzzy c-means, IFCM)，該算法不僅考慮了樣本聚類的模糊隸屬度，而且考慮了其隸屬度的不確定性，使分類隸屬度盡可能最大化并達到改善聚類性能的目的。但是，無原則地增大樣本分類隸屬度會導致樣本誤分的概率偏大，不利于光照不均勻、噪聲干擾等復雜圖像分割的需要。文獻[6]將圖形模糊集引入傳統模糊C-均值聚類，對聚類過程中的圖形模糊隸屬度、中立度和拒分度進行規范約束，并得到一種稱為圖形模糊聚類算法(fuzzy clustering method on picture fuzzy sets, PFCM)[6]，該聚類中的拒分度計算僅利用隸屬度和中立度經Yager補算子獲得，導致交替迭代所獲得的隸屬度、中立度和聚類中心出現負值，使聚類算法失效。Thong等[7]提出了另一種新的圖形模糊聚類算法(fuzzy clustering of picture fuzzy sets, FC-PFS)，該聚類性能相比現有FCM算法有一定程度提升。

圖形模糊聚類被廣泛應用于醫學影像和氣象云圖的分割[8-9]，但該聚類僅結合當前像素的的灰度信息，并未考慮當前像素的鄰域像素空間信息和灰度信息對聚類的影響，導致該種算法對噪聲的抑制能力較差。為此，文獻[10]將文獻[7]中的中立度和拒分度相結合，構造正則項冪積型表達式，并引入像素鄰域灰度信息，提出一種具有魯棒性的改進圖形模糊聚類分割算法(PFCM with spatial constraints, PFCM_S1)，同理，可將此思想引入文獻[7]，獲得一種改進圖形模糊聚類算法(FCPFS with spatial constraints, FC-PFS_S1)，該算法采用歐氏距離構造聚類目標函數，將樣本空間中相近的樣本聚在一起，易于陷入局部極小值點且對初始化值較為敏感，主要適合于類樣本數相差不懸殊的團狀凸數據集，而對于那些非凸數據的聚類，其聚類性能存在顯著下降[11]。而核模糊C-均值(kernel-based fuzzy c-means clustering method,KFCM)聚類算法[12]，能有效解決非凸數據聚類問題，它將樣本數據通過非線性映射至高維特征空間并改善樣本的可分性，從而達到改善聚類性能的目的。但是核函數的引入將增加算法時間復雜度，不利于實時性要求較高場合圖像分割的需要。為此，Cai等[13-14]提出了空間信息約束的快速FCM分割算法(fast generalized FCM, FGFCM)，該算法利用原始圖像的每個像素鄰域窗內的灰度和空間位置信息構造新的線性加權圖像，然后在該圖像的灰度直方圖上進行圖像聚類，減少運行時間，并且提高了抑制噪聲能力，但無法改善該類分割算法的分割性能，不利于諸如醫學和遙感等復雜場合的圖像分割需要。

為了提高魯棒圖形模糊聚類分割法的分割性能和噪聲抑制能力，并能降低大幅面遙感或醫學等影像分割的時間開銷，本文將PFCM_S1算法推廣至核空間并與FGFCM分割算法相結合，提出一種改進的魯棒核空間圖形模糊聚類分割算法，并將像素與其鄰域像素緊密關聯的二維直方圖引入新的魯棒分割算法中，獲得一種快速魯棒核空間圖形模糊聚類分割算法。測試結果表明，本文提出的算法能有效地提高大幅面圖像分割速度；同時，相比現有的圖形模糊聚類分割法能有更強的分割性能。

1 魯棒圖形模糊聚類

針對現有PFCM算法中的拒分度存在負值問題，導致隸屬度、中立度和聚類中心出現非法值，且缺乏魯棒抗噪性。文獻[10]利用文獻[7]有關中立度和拒分度的正則化思想并引入像素鄰域均值信息，構造一種PFCM_S1算法，其最優化模型為

2 魯棒圖形模糊聚類算法的改進

2.1 核空間魯棒圖形模糊聚類

針對最優化模型式(1)，它所對應的迭代聚類算法主要適合呈團狀數據分析。為了增強該聚類模型對不同形狀數據聚類的適應性，將數據樣本通過非線性函數映射至高維希爾伯特再生核空間，它與核函數之間具有內積關系，通過改變樣本之間的空間分布結構，促使模糊聚類性能得到改善，相應的核空間魯棒圖形模糊聚類(kernel-based PFCM_S1,PKFCM_S1)最優化模型為：

可將模型式(2)推廣至FGFCM算法中，獲得一種快速核圖形模糊聚類分割算法(fast generalized kernel-based PFCM, FGPKFCM)，從而使得聚類性能遠優于FGFCM分割算法。

2.2 改進核空間魯棒圖形模糊聚類

為了進一步提高圖形模糊聚類抑制噪聲能力，將文獻[13]中圖像鄰域像素平滑濾波信息推廣至圖形模糊聚類，相應的最優化模型為：

雖然最優化式(7)對噪聲具有一定的抑制能力，但難以滿足醫學、遙感等復雜場合影像分割的需要。為此，將最優化模型式(2)和式(7)相結合，構造一種更強噪聲抑制能力的魯棒核空間圖形模糊聚類分割算法，最優化模型表示為：

針對最優化模型式(8)，核函數選取局部逼近能力的高斯核函數，則獲得類似式(3)～(6)的迭代表達式，相應分割算法雖然能改善最優化模型式(2)的抑制噪聲能力，但二者存在的共同不足是非常耗時，不利于大幅面的醫學、遙感等影像快速分割的需要。

2.3 快速核空間圖形模糊聚類

為了提高像素鄰域信息加權圖像分割法的快速性，將直方圖模糊聚類[14-15]引入線性加權圖像魯棒核空間圖形模糊聚類，探索一種基于二維直方圖的魯棒核空間圖形模糊聚類分割法。

針對灰度Lena圖像，與平滑濾波圖像聯合獲得的二維直方圖如圖1所示。

圖 1 Lena圖及二維直方圖Fig. 1 Lena image and its two-dimensional histogram

由圖1可見，該二維直方圖描述了圖像任意像素與其鄰域像素濾波信息的空間分布關系，利用它可增強閾值分割或聚類分割等算法對噪聲干擾的抑制能力。為此，本文將其應用于魯棒圖形模糊聚類分割算法，改善聚類分割算法的實時性，促使該算法在醫學、遙感等領域的廣泛應用。

針對魯棒核空間圖形模糊聚類分割最優化模型式(8)，將二維直方圖引入并得到等價模型為：

利用上述迭代表達式可構造魯棒核空間圖形模糊聚類分割快速算法，其詳細過程描述如下：1)引入文獻[13]思想，獲取被分割原始圖像所對應的加權圖像，以及對加權圖像獲取局部均值濾波圖像。

vk迭代表達式，更新相應的聚類中心。

3 測試結果與分析

為了客觀評價不同圖形模糊聚類分割算法的聚類性能，將現有的圖形復合基(picture composite cardinality，PCC)[18]作為圖形聚類性能好壞的評價指標，將其進行修改并定義為：

一般而言，圖形模糊聚類結果所對應的PCC值越小，則相應的模糊聚類性能越好，反之亦然。

將改進的峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)[19]作為量化指標來評價聚類算法抗噪性能強弱，其定義為：

為了比較FC-PFS、PFCM、FC-PFS_S1、PFCM_S1、PKFCM_S1、FGPKFCM算法及本文算法的分割性能、噪聲抑制能力、時間開銷等差異性，文中選取大小為的人工合成圖、的醫學CT圖和的機場遙感圖，如圖2所示，對其添加不同強度的高斯和椒鹽噪聲，采用FCPFS、PFCM、FC-PFS_S1、PFCM_S1、PKFCM_S1、FGPKFCM算法及本文算法對其分割測試，采用改進的圖形復合基、峰值信噪比值和誤分率定量評價不同算法的抗噪性能和分割性能，并統計不同算法收斂的時間開銷，以便客觀評價各算法執行效率。類

圖 2 標準灰度圖像Fig. 2 Standard grayscale images

3.1 高斯噪聲干擾圖像測試與分析

對圖2中3幅標準灰度圖像，分別添加均值為0且均方差為98、98和57(歸一化方差分別為0.15、0.15、0.05)的高斯噪聲，采用 FC-PFS、PFCM、FC-PFS_S1、PFCM_S1、PKFCM_S1、FGPKFCM 及本文算法對其分割測試，所得結果如圖3所示，以及各算法聚類性能的圖形復合基評價數值，如表1所示。

圖 3 高斯噪聲干擾圖像及分割結果Fig. 3 Images interfered by Gaussion noise and their segmentation results

表 1 不同算法抑制高斯噪聲所對應的圖形復合基Table 1 Picture composite cardinality of different algorithms to suppress Gaussion noise

從表1的測試結果可知，本文算法的PCC值最小，說明本文算法的聚類性能更為優越。另外，從圖3的分割結果可知，FC-PFS和PFCM算法所得分割結果被噪聲污染較嚴重，存在明顯噪聲顆粒，而其他5種算法比FC-PFS和PFCM抗高斯噪聲能力顯著增強，其中，嵌入鄰域像素灰度信息的圖形模糊聚類算法FC-PFS_S1、PFCM_S1、PKFCM_S1及本文算法相比未嵌入鄰域像素灰度信息的FC-PFS、PFCM聚類算法具有更強的魯棒分割能力；同時，相比其他6種算法，文中提出的算法所得結果邊緣更為清晰且顆粒噪聲點明顯減少。

為客觀定量評價各算法抗噪聲性能強弱，表2給出不同算法抑制高斯噪聲的峰值信噪比值和分割誤分率。從表2的峰值信噪比值和誤分率可以看出，嵌入鄰域信息的算法峰值信噪比值更高，而誤分率更低，但相比其他6種算法，本文算法的峰值信噪比值(誤分率)更高(低)，說明本文算法具有更強的魯棒抗噪性和分割能力。

表 2 不同算法抑制高斯噪聲的PSNR(dB)及誤分率Table 2 PSNR(dB) and misclassification rate of different algorithms to suppress Gaussian noise

為了證實本文算法耗時少的優勢，對圖2中的3幅圖像分別添加不同均方差的高斯噪聲，采用上述7種算法進行分割測試，統計各算法的時間開銷，所得結果如圖4所示。

圖 4 不同算法時間開銷對比Fig. 4 Comparison of time cost of different algorithms

從圖4可見，本文算法與FGPKFCM算法的時間開銷相當，但與其他6種算法相比，本文算法的時間開銷明顯減少，說明本文算法有較好的執行效率。

3.2 椒鹽噪聲干擾圖像測試與分析

對圖2中3幅圖像，分別添加30%、20%、30%大小椒鹽噪聲，采用FC-PFS、PFCM、FCPFS_S1、PFCM_S1、PKFCM_S1、FGPKFCM 算法及本文算法進行圖像分割測試，所得結果如圖5所示，以及各算法的聚類性能評價指標PCC值，如表3所示。

從圖5所示的7種分割算法所得結果可知，含鄰域均值信息的FC-PFS_S1、PFCM_S1、PKFCM_S1及本文算法相比FC-PFS和PFCM算法具有更強的抗椒鹽噪聲能力，分割結果存在的噪聲顆粒明顯減少，且本文算法相比其他6種算法所獲得分割圖像輪廓更為清晰并能保持原圖像中豐富的細節信息。另外，從表3測試的圖形復合基PCC值可以看出，本文算法的PCC值最小，說明它有更好的聚類性能。

圖 5 椒鹽噪聲干擾圖像及分割結果Fig. 5 Images interfered by salt and pepper noise and their segmentation results

表 3 不同算法抑制椒鹽噪聲所對應的圖形復合基Table 3 Picture composite cardinalityof different algorithms to suppress salt and pepper noise

為了進一步驗證本文算法抗噪性和分割有效性，對圖2中的3幅圖像加入不同強度的椒鹽噪聲，采用上述7種算法進行分割測試，對其分割結果用峰值信噪比值和誤分率進行評估，如表4所示。

表 4 不同算法抑制椒鹽噪聲的PSNR(dB)及誤分率Table 4 PSNR(dB) and misclassification rate of different algorithms to suppress salt and pepper noise

從表4所示的評價結果可以看出，本文算法的峰值信噪比(誤分率)明顯增大(減小)，更接近理想的分割結果，相比其他6種分割算法，本文算法的抗噪性能和分割能力明顯增強。

為客觀評價各算法執行的時間效率，對圖2中3幅圖像，添加不同強度的椒鹽噪聲，分別采用上述7種算法進行分割測試，并統計各算法的時間開銷，結果如圖6所示。由圖6可見，本文算法的時間開銷和FGPKFCM算法相近，但相比其他5種算法，本文算法的時間開銷明顯減少，提高了運行效率，說明本文算法具有更好的實時性。

圖 6 不同算法時間開銷對比Fig. 6 Comparison of time cost of different algorithms

4 結束語

為了進一步提升基于核空間的魯棒圖形模糊聚類分割算法的魯棒性和實時性，提出一種圖像鄰域像素平滑濾波信息的魯棒核空間圖形模糊聚類分割算法。同時，將當前聚類像素與其鄰域像素均值所對應的二維直方圖信息嵌入上述算法中，提出一種基于核空間的快速魯棒圖形模糊聚類分割算法。對大幅面圖像在不同強度噪聲干擾環境下進行分割測試，實驗結果表明，本文所提算法在魯棒性能和實時性能上均有所增強。