用構造函數法解一類導數壓軸題

■河南師范大學附屬中學 王焰宇(指導老師:孟召臣)

用構造函數法解一類導數壓軸題

■河南師范大學附屬中學 王焰宇(指導老師:孟召臣)

構造函數法是在求解某些數學問題時,根據問題的條件或目標,構造一種新的函數關系,使問題在新函數關系下轉化并利用函數的有關性質解決。構造函數解題是一種創造性思維過程,具有較大的靈活性和技巧性,如果能掌握相應的構造技巧,必定能大大提高同學們的臨場解題效率,下面舉例說明。

題目:設定義在(0,+∞)上函數f(x)滿足:2016f(x)＜f'(x)＜2017f(x),則( )。

解析:本題中的四個選項與題設的關系不很明顯,符合題意的特殊函數不易找到。如何利用題目中的條件構造函數,這讓很多同學在考場上花費了相當長時間還是無從下手。對本題的解答進行整理,可得到以下三種解法:

解法一:據題可知2016f(x)＜f'(x)＜2017·f(x),f(x)＞0。

解法三:特殊函數法:令f(x)=eax, 2016＜a＜2017均可,不妨令a=2016.5,易知函數f(x)滿足題設的一切條件,代入選項驗證可知只有A是正確的。

針對考試中常出現的幾類函數,進行如下總結:

1.對于f'(x)±g'(x),構造h(x)= f(x)±g(x),若遇到f'(x)＞a(a≠0),則可構造h(x)=f(x)-ax。

2.對于xf'(x)+f(x),構造h(x)= xf(x),若遇到xf'(x)+nf(x),可構造h(x)=xnf(x)。

3.對于xf'(x)-f(x),構造h(x)=若遇到xf'(x)-nf(x),可構造h(x)

4.對于f'(x)+f(x),構造h(x)= exf(x)或h(x)=lnf(x)+x,若遇到f'(x)+ nf(x),則可構造h(x)=enxf(x)或h(x)= lnf(x)+nx。

5.對于f'(x)-f(x),構造h(x)=若遇到f'(x)-nf(x),則可構造或h(x)= lnf(x)-nx。

如果同學們能熟練掌握以上這些常見的構造技巧,必定能收到不錯的效果。

(責任編輯 徐利杰)