高二上學期期末全國名校綜合測試卷

■河南師范大學附屬中學 孟召臣

高二上學期期末全國名校綜合測試卷

■河南師范大學附屬中學 孟召臣

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分。每小題只有一個選項符合題意)

1.已知p:α為第二象限角,q:sinα＞cosα,則p是q成立的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.在△ABC中,已知a=x,b=2,B= 45°,如果利用正弦定理解三角形有兩解,則x的取值范圍是( )。

A.x＞2 B.x＜2

3.若四個正數a、b、c、d成等差數列,x是a和d的等差中項,y是b和c的等比中項,則x、y的大小關系為( )。

A.x＜y B.x＞y C.x=y D.x≥y

4.不等式x(2-x)＜x(1+x)的解集是( )。

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-∞,0)∪(1,+∞) 2

C.(-1,2)

5.等差數列{an}中,若a4+a6+a8+a10+ a12=120,則的值是( )。

A.14 B.15 C.16 D.17

6.已知命題“?a、b∈R,如果ab＞0,則a＞0”,則它的否命題是( )。

A.?a、b∈R,如果ab＜0,則a＜0

B.?a、b∈R,如果ab≤0,則a≤0

C.?a、b∈R,如果ab＜0,則a＜0

D.?a、b∈R,如果ab≤0,則a≤0

7.在銳角△ABC中,若tanA=t+1, tanB=t-1,則t的取值范圍為( )。

D.(-1,1)

8.已知函數解析式為f(x)=把函數()() ,gx=fx -x+1的零點按從小到大的順序排列成一個數列,并且該數列的前n項和為Sn,那么S10=( )。

A.29-1 B.210-1 C.55 D.459.若不等式組表示的平面區域是一個三角形,則實數a的取值范圍為( )。10.設P為雙曲線上的一點, F1、F2是該雙曲線的兩個焦點,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,則△PF1F2的面積為( )。

11.已知各項均為正數的等比數列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項am,an使得,則的最小值為( )。

12.已知A(3,0),O是坐標原點,點P(x,y)的坐標滿足則的取值范圍為( )。

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)

13.已知Sn,Tn分別是等差數列{an}, {bn}的前n項和,且,則=____。

14.已知a、b、c分別為△ABC中角A、B、C的對邊,且滿足a+c=2b,C=2A,則sinA=____。

15.已知a、b＞0,a+b=4,則+的最大值為____。

16.已知F1、F2為橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點,點P為橢圓C上任一點,△F1PF2的內心為I。若存在實數λ滿足:(1+λ)則橢圓C的離心率為____。

三、解答題(本大題共6小題,共70分。請寫出必要的解題步驟)

17.(本小題滿分10分)設集合A為函數y=ln(-x2-2x+8)的定義域,集合B為函數y=x+的值域,集合C為關于x的不等式(x+4)≤0,a∈R的解集。

(1)求A∩B。

(2)若C??RA,求實數a的取值范圍。

18.(本小題滿分12分)在斜三角形ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c。

19.(本小題滿分12分)已知數列{an}滿足a1=1,且8an+1an-16an+1+2an+5=0 (n≥1)。記bn=(n≥1)。

(1)求b1,b2,b3,b4的值。

(2)求數列{bn}的通項公式及數列{anbn}的前n項和Sn。

20.(本小題滿分12分)在平面直角坐標系xOy中,過定點C(0,p)作直線與拋物線x2=2py(p＞0)相交于A、B兩點。

(1)若點N是點C關于坐標原點O的對稱點,求△ANB面積的最小值。

(2)是否存在垂直于y軸的直線l,使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求直線l的方程;若不存在,說明理由。

圖1

21.(本小題滿分12分)如圖1,在邊長為3的正三角形ABC中,E、F、P分別為AB、AC、BC上的點,且滿足AE= FC=CP=1。將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B為直二面角,連接A1B, A1P,如圖2所示。

圖2

(1)求證:A1E⊥平面BEP。

(2)求直線A1E與平面A1BP所成角的大小。

22.(本小題滿分12分)如圖3,梯形ABCD的底邊AB在y軸上,原點O為AB的中點,,AC⊥BD,M為CD的中點。

圖3

(1)求點M的軌跡方程;

(2)過M作AB的垂線,垂足為N,若存在正常數λ0,使,且P點到A、B的距離和為定值,求點P的軌跡E的方程。

1.A2.C3.D4.B5.C6.B 提示:命題“若p,則q”的否命題為“若非p,則非q”。故選B。

7.A 提示:tanA＞0,tanB＞0?t＞1。再由tanC=-tan(A+B)=可得t＞。

8.D 提示:作出f(x)和y=x-1的圖像,可知g(x)=f(x)-x+1的零點為自然數列,即an=n-1,故S10=45。

9.D 提示:由所構成的平面區域為圖4中△OAG及其內部,其中,A(1,0)斜率為-1的直線與x軸交點在線段OA上(不含O點)或在點B的右側時構成的平面區域為三角形區域,故0＜a≤ 1或

圖4

10.B 提示:因為|PF1|∶|PF2|=3∶2,可設|PF1|=3x,|PF2|=2x,根據雙曲線定義得|PF1|-|PF2|=x=2a=2,所以|PF1|=6,|PF2|=4,|F1F2|=2。

11.C 提示:因為a7=a6+2a5,所以q2-q-2=0,q=2或q=-1(舍去)。故m+n=6。

12.A 提示:作出可行域如圖5(其中不包括線段OC)。

圖5

13.

14

15.提示:令ab+1=t,由 4=a+b≥2得0＜ab≤4,1＜t≤5。原式

16提示:設△F1PF2的重心為G,則滿足:

故設P(x,y),則△F1PF2的內切圓半徑

17.(1)由于-x2-2x+8＞0,解得A= {x|-4＜x＜2}。

B={x|x≤-3或x≥1}。

A∩B={x|-4＜x≤-3或1≤x＜2}。

(2)?RA={x|x＜-4或x≥2}。

18.(1)由正弦定理得

2sinAcosC=sinB可化為2acosC=b。

(2)在斜三角形ABC中滿足A+B+ C=π。

sin(2A+B)=3sinB可化為: sin[π+(A-C)]=3sin[π-(A+C)]。

故-sin(A-C)=3sin(A+C)。

故-sinAcosC+cosAsinC= 3(sinAcosC+cosAsinC)。

整理得4sinAcosC=-2cosAsinC。

19.(1)由得代入遞推關系式8an+1an-16an+1+2an+5= 0,整理得

由a1=1,得b1=2。

故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=

20.(1)依題意知,點N的坐標為N(0, -p),可設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+p。與x2=2py聯立得消去y得:

(2)假設滿足條件的直線l存在,其方程為y=a,AC的中點為O',l與AC為直徑的圓相交于點P、Q,PQ的中點為H,則O'H⊥ PQ,Q'點的坐標為

因此,|PQ|2=(2|PH|)2=

21.(1)取BE中點D,連接DF。因為AE=CF=1,DE=1,所以AF=AD=2。而∠A=60°,即△ADF是正三角形。

又因為AE=ED=1,所以EF⊥AD。

所以圖2中,有A1E⊥EF,BE⊥EF。

∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角。

又二面角A1-EF-B為直二面角,所以A1E⊥BE。

又因為BE∩EF=E,所以A1E⊥平面BEP。

(2)由(1)可知A1E⊥平面BEP,BE⊥EF。如圖6,以E為原點,建立空間直角坐標系E-xyz,則E(0,0,0),A1(0,0,1), B(2,0,0),F(0,0)。連接DP。

圖6

不妨設平面A1BP的法向量n=(x,y, z),則即

故直線A1E與平面A1BP所成角的大小為

22.(1)設點M的坐標為M(x,y)(x≠0),則

(2)設P(x,y),則M((1+λ0)x,y),代入M的軌跡方程有(1+λ0)2x2+y2=1(x≠ 0),即

點P的軌跡為橢圓(除去長軸的兩個端點)。

解得λ0=2,從而所求點P的軌跡方程為9x2+y2=1(x≠0)。

設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=

(責任編輯 徐利杰)