探析高二數學中蘊藏的數學文化

■甘肅省秦安縣第二中學 羅文軍

探析高二數學中蘊藏的數學文化

■甘肅省秦安縣第二中學 羅文軍

2017年考試大綱修訂后,在能力要求內涵方面,增加了對數學文化的要求——展現數學的科學價值和人文價值。下面通過賞析歷年高考真題中的數學文化試題,來探析高考數學文化試題命題的視角。

一、取材于中國古代數學名著的高考數學試題

《九章算術》是我國古代經典數學名著,《九章算術》全書共246道算術應用題,分為九章:方田,粟米,衰分,少廣,商功,均輸,盈不足,方程,勾股。以《九章算術》中的問題為材料背景的高考真題,為高考注入了新的活力,很好地考查了同學們的數學素養,也潛移默化地增加了同學們的愛國主義情懷。

(2011年湖北卷理科第12題)《九章算術》“竹九節”問題:現有一根9節的竹子,自上而下各節的容積成等差數列,上面4節的容積共3升,下面3節的容積共4升,則第5節的容積為____升。

分析:設出竹子自上而下各節的容積且為等差數列,根據上面4節的容積共3升,下面3節的容積共4升列出關于首項和公差的方程,聯立即可求出首項和公差,再根據求出的首項和公差,利用等差數列的通項公式即可求出第5節的容積。

解:設該數列{an}的首項為a1,公差為d,依題意得:

點評:此題源于《九章算術》第六章《均輸》,考查了等差數列的通項公式,也考查了同學們的創新意識和應用知識能力。

這類數學文化試題,命題者直接取材于古代數學經典名著中同學們能夠理解并且容易解決的簡單問題,編制成數學試題,大多可以利用相關的基本知識輕松解決,通過這些試題體現我國古代數學成果的燦爛輝煌,也考查了同學們的理解能力和創新意識。

二、與黃金分割有關的高考數學試題

(1)雙曲線的離心率e=____。

(2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值

圖1

解析:(1)由題意知|OA|=|OA2|,所以

所以e4-3e2+1=0。

(2)菱形F1B1F2B2的面積S1=

記∠B2F2O=θ,則sin

點評:本題以黃金雙曲線為載體,考查直線與雙曲線的位置關系和雙曲線的離心率以及數形結合的思想。

2010年遼寧卷理科數學第9題同樣以黃金雙曲線為背景。

以黃金分割比為背景的高考數學試題,主要考查了同學們對高中有關基本知識的掌握情況,命題者通過這類試題,體現出了數學中的美學。

三、與斐波那契數列有關的高考數學試題

斐波那契(意大利數學家,約1170-1250)數列是由一個“兔子問題”引起的,即:假定一對大兔子每個月可以生一對小兔子,而小兔子出生后兩個月就有生殖能力,問從一對大兔子開始,一年后能繁殖成多少對兔子。這就產生斐波那契數列:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…。

其規律是從第三項起,每一項都是前兩項的和。用遞推公式表達就是:

(2009年福建卷理科第15題)5位同學圍成一圈依次循環報數,規定:

(1)第一位同學首次報數為1,第二位同學首次報出的數也為1,之后每位同學所報數的都是前兩位同學所報出的數之和。

(2)若報出的數為3的倍數,則報該數的同學需拍手一次。

已知甲同學第一個報數,當5位同學依次循環報到第100個數時,甲同學拍手的總次數為____。

分析:根據題意可確定5位同學所報數值為斐波那契數列,可找到甲所報的數的規律,進而可轉化為等差數列的知識來解題。

解:(1)將每位同學所報的數排列起來,即是“斐波那契數列”:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 233,377,610,987,…。

(2)該數列的一個規律是,第4,8,12, 16,…,4n項均是3的倍數。

(3)甲同學報數的序數是1,6,11, 16,…,5m-4。

(4)問題可化為求數列{4n}與{5m-4}的共同部分數。

易知,當m=4k,n=5k-1時,5m-4= 20k-4=4n。

又1＜4n≤100,故20k-4＜100,k≤5。

因此,甲拍手的總次數為5次,即第16, 36,56,76,96次報數時拍手,故答案為5。

點評:本題主要考查斐波那契數列、等差數列的知識。

(責任編輯 徐利杰)